Question

【題目】如圖，已知和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)為的中點(diǎn).過點(diǎn)與平行的直線交射線于點(diǎn).

（1）當(dāng)、、三點(diǎn)在同一直線上時（如圖1），求證：為的中點(diǎn)；

（2）將圖1中繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)、、三點(diǎn)在同一直線上時（如圖2），求證： 為等腰直角三角形；

（3）在（2）條件下，已知，,求的長.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）．

【解析】

（1）由EN∥AD和點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)可以證得△ADM≌△NEM，從而證得M為AN的中點(diǎn)；（2）易證AB=DA=NE，∠ABC=∠NEC=135°，從而可以證得△ABC≌△NEC，進(jìn)而可以證得AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，則有△ACN為等腰直角三角形；（3）由（2）知，，則可求出AB，BE的值，根據(jù)求出AE的值，在根據(jù)勾股定理求出AN即可.

（1）證明：，

，，

∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，

，

，

，

為的中點(diǎn)；

（2）證明：和均為等腰直角三角形，

，，，

，

，

，

，

，

，，三點(diǎn)在同一直線上，

，

，

（已證），

，

，

，

，

，，

，

為等腰直角三角形；

（3）由（2）知，，

在等腰直角三角形中，，

，

在等腰Rt△中，，

，

，

由（2）知，，

在中，，，根據(jù)勾股定理得，．