Question

13．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+3交x軸于A、B兩點(diǎn)（A在B左邊），交y軸于C點(diǎn)，且OC=3OA，對稱軸x=1交拋物線于D點(diǎn)．
（1）求拋物線解析式；
（2）在直線BC上方的拋物線上找點(diǎn)E使S_△BCD=S_△BCE，求E點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在x軸上方的拋物線上，是否存在點(diǎn)M，過M作MN⊥x軸于N點(diǎn)，使△BMN與△BCD相似？若存在，請求出M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將x=0代入可求得y=3，故此可知C（0，3），OC=3，OA=1，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），由點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x=1對稱可知B（3，0），將點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，從而可求得a=-1，b=2；
（2）過D點(diǎn)作DE∥BC交拋物線y=-x²+2x+3于E點(diǎn)，由△BCD與△BCE是同底等高的三角形可知S_△BCD=S_△BCE，設(shè)直線DE的解析式為y=-x+b，將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入可求得直線DE的解析式，然后與拋物線的解析式聯(lián)立可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）由兩點(diǎn)間的而距離公式可知：BC=3$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{2}$，設(shè)M（x，y），則MN=y=-x²+2x+3，BN=3-x，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出關(guān)于x的方程，從而可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵將x=0代入得y=3，
∴C（0，3）．
∵OC=3OA，
∴OA=1．
∴A（-1，0）．
∵點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x=1對稱，
∴B（3，0）．
將A（-1，0），B（3，0）代入y=ax²+bx+3得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+3．
（2）∵將x=1代入拋物線的解析式得：y=-1+2+3=4，
∴D（1，4）．
如圖1，過D點(diǎn)作DE∥BC交拋物線y=-x²+2x+3于E點(diǎn)．

設(shè)直線DE的解析式為y=-x+b，
將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入得：-1+b=4，解得：b=5，則直線DE的解析式為y=-x+5．
將y=-x+5與y=-x²+2x+3聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=4}\end{array}\right.$（舍去），$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{y}_{2}=3}\end{array}\right.$．
∴E（2，3）．
（3）存在．
由兩點(diǎn)間的而距離公式可知：BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$3$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{（1-0）^{2}+（4-3）^{\;}}$=$\sqrt{2}$．
設(shè)M（x，y），則MN=y=-x²+2x+3，BN=3-x．
①如圖2所示：

∵當(dāng)△BMN∽△DBC時(shí)，$\frac{BN}{NM}=\frac{CD}{BC}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{3-x}{-{x}^{2}+2x+3}=\frac{1}{3}$．
解得：x₁=2，x₂=3（舍去）．
∵當(dāng)x=2時(shí)，y=3，
∴M（2，3）．
②如圖3所示：


∵當(dāng)△BMN∽△BDC時(shí)，$\frac{MN}{BN}=\frac{DC}{BC}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{-{x}^{2}+2x+3}{3-x}=\frac{1}{3}$．
解得：x₁=-$\frac{2}{3}$，x2=3（舍去）．
當(dāng)x=-$\frac{2}{3}$時(shí)，y=$\frac{11}{9}$，
∴M（-$\frac{2}{3}$，$\frac{11}{9}$）
綜上，存在點(diǎn)M（2，3）或（-$\frac{2}{3}$，$\frac{11}{9}$），使△BMN與△BCD相似．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，本題主要涉及了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)、相似三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．