Question

數(shù)學(xué)課上，張老師給出了問(wèn)題：如圖（1），四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分線CF 于點(diǎn)F，求證：AE=EF。
經(jīng)過(guò)思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB 的中點(diǎn)M，連接ME，則AM=EC，易證△AME≌△ECF，所以AE=EF，在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步探究：
（1）小穎提出：如圖（2），如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)” 改為“點(diǎn)E是邊BC上（除B、C外）的任意一點(diǎn)”，其他條件不變，那么結(jié)論“AE= EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過(guò)程；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）小華提出：如圖（3），點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上（除C 點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF” 仍然成立，你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過(guò)程；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）正確， 證明：如圖（1），在AB上取一點(diǎn)M，使AM=EC，連接ME， ∴BM=BE， ∴∠BME=45°， ∴∠AME=135°， ∵CF是正方形外角∠DCG的平分線，　 ∴∠DCF=45°，　 ∴∠BCF=135°，　 ∴∠AME=∠ECF， ∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°， ∴∠BAE=∠CEF， ∴△AME≌△ECF（ASA）， ∴AE=EF；
（2）正確， 證明：如圖（2）， 在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)N，使AN=CE，連接NE， ∴BN=BE， ∴∠N=∠FCE=45°， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AD∥BE， ∴∠DAE=∠BEA， ∴∠NAE=∠CEF， ∴△ANE≌△ECF（ASA）， ∴AE=EF。