Question

請回答：

1

8

能否表示為3個(gè)互異的正整數(shù)的倒數(shù)的和？

1

8

能否表示為3個(gè)互異的完全平方數(shù)的倒數(shù)的和？如果能，請給出一個(gè)例子；如果不能，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：分式的混合運(yùn)算,實(shí)數(shù)

專題：證明題,推理填空題

分析：（1）由

1

8

=

1

8

×(

1

2

+

1

3

+

1

6

)=

1

16

+

1

24

+

1

48

證明即可；
（2）設(shè)a＜b＜c，尋找滿足

1

8

=

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

的整數(shù)．

解答：解：（1）由于

1

2

+

1

3

+

1

6

=1，
故有

1

8

=

1

8

×(

1

2

+

1

3

+

1

6

)=

1

16

+

1

24

+

1

48

．
所以，

1

8

能表示為3個(gè)互異的正整數(shù)的倒數(shù)的和（表示法不唯一）．
（2）不妨設(shè)a＜b＜c，
現(xiàn)在的問題就是尋找整數(shù)a，b，c，
滿足

1

8

=

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

由a＜b＜c，則有，
從而

1

8

=

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

＜

3

a2

，
所以a²＜24．又有

1

8

＞

1

a2

，
所以a²＞8，故a²=9或16．
若a²=9，則有

1

b2

+

1

c2

=

1

8

-

1

9

=

1

72

，
由于

1

72

＜

1

b2

，并且

2

b2

＞

1

b2

+

1

c2

=

1

72

，
所以b²＞72，72＜b²＜144．
故b²=81，100或121．將b²=81、100和121分別代入c2=

72b2

b2-72

，沒有一個(gè)是完全平方數(shù)，
說明當(dāng)a²=9時(shí)，

1

8

=

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

無解．
若a²=16，則

1

b2

+

1

c2

=

1

8

-

1

16

=

1

16

．
類似地，可得：16＜b²＜32，即b²=25，
此時(shí)，c2=

16b2

b2-16

=

16×25

9

不是整數(shù)．
綜上所述，

1

8

不能表示為3個(gè)互異的完全平方數(shù)的倒數(shù)之和．
評分參考：①正確回答第一問給（5分）（答案不唯一）；
②能得到a²=9或16，給（6分）；
③能分別對a²=9和16討論

1

8

能否表示為3個(gè)互異的完全平方數(shù)的倒數(shù)之和，各給（2分），共（4分）；
④對代數(shù)式合理和正確的推導(dǎo)適當(dāng)給分．
特別說明：因?yàn)楦黝}的解答未必唯一，上述解答和評分僅供參考．

點(diǎn)評：此題利用分式的混合運(yùn)算證明，難度較大，需要反復(fù)嘗試．