Question

（2008•旅順口區(qū)）兩個全等的三角形如下圖所示放置，點B、A、D在同一直線上．操作：在圖中，在CB邊上截取CM=AB，連接DM，交AC于N．請?zhí)骄俊螦ND的大小，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：此題作圖比較容易，如圖要探究∠AND的大小，容易知道Rt△ABC≌Rt△DEA，但不能直接發(fā)揮作用，需要把△AED沿ADF翻轉到△ADF的位置，這樣AF與AC，CF就構成了等腰直角三角形∴∠FCA=45°，然后利用CM=AB=DE=DF，BC∥DF就可以證明四邊形DFCM是平行四邊形，這樣∠AFD=∠FCA=45°了．
解答：解：作圖基本正確，確定M，連接DM，確定交點N
猜測∠AND=45°
證明：∵Rt△ABC≌Rt△DEA，
∴AE=AC，∠EAD=∠ACB，AB=DE．
延長ED至點F，使DE=DF，連接AF、CF，
∵EF⊥AD，
∴AF=AE，∴∠FAD=∠EAD．
∴AF=AC，∠FAD=∠ACB．
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，
∴∠BAC+∠ACB=90°．
∴∠BAC+∠FAD=90°．
∴∠FAC=90°．
∴△FAC是等腰直角三角形，
∴∠ACF=45°．
∵BC⊥AD，EF⊥AD，
∴BC∥EF．
∵CM=AB=DE=DF=DF，
∴四邊形FDMC為平行四邊形．
∴CF∥DM．
∴∠AND=∠ACF=45°．
點評：此題主要考查全等三角形的應用，等腰直角三角形的性質，平行四邊形的性質及判定，此外利用圖形變化--翻轉作輔助線是解題的關鍵．