Question

如圖，在△ABO中，OA＝OB，C是邊AB的中點，以O(shè)為圓心的圓過點C，且與OA交于點E、與OB交于點F，連接CE、CF．

（1）AB與⊙O相切嗎，為什么？
（2）若∠AOB＝∠ECF，試判斷四邊形OECF的形狀，并說明理由．

Answer 1

（1）AB與⊙O相切；（2）菱形

試題分析：（1）連結(jié)OC，由OA＝OB，C是邊AB的中點根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可證得結(jié)論；
（2）先證得△EOC≌△FOC，即得CE＝CF，∠ECO＝∠FCO，從而可得∠AOB＝2∠EOC，∠ECF＝2∠ECO，再結(jié)合∠AOB＝∠ECF可得∠EOC＝∠ECO，即得CE＝OE，從而證得結(jié)論.
（1）AB與⊙O相切．連結(jié)OC，

∵OA＝OB，C是邊AB的中點，
∴OC⊥AB，∠AOC＝∠BOC．
∵OC⊥AB，⊙O過點C
∴AB與⊙O相切于C；
（2）四邊形OECF為菱形．在△EOC和△FOC中，
∵OE＝OF，∠AOC＝∠BOC，CO＝CO，
∴△EOC≌△FOC．
∴CE＝CF，∠ECO＝∠FCO．
∵∠AOC＝∠BOC，∠ECO＝∠FCO，
∴∠AOB＝2∠EOC，∠ECF＝2∠ECO．
又∵∠AOB＝∠ECF，
∴∠EOC＝∠ECO，
∴CE＝OE．
∴CE＝OE＝OF＝CF．
∴四邊形OECF為菱形．
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．