Question

4．如圖，直線 y=-2x+4與坐標(biāo)軸分別交于B、D，四邊形ABCD為菱形，其對(duì)角線交于點(diǎn)P，AC交y軸于點(diǎn)E．
（1）求B、D、A三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；  
（2）求PE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求得B、D的坐標(biāo)，然后通過(guò)根據(jù)菱形的性質(zhì)證得∴△ABP∽△DBO，即可求得AB=5，即可求得C的坐標(biāo)；
（2）證得∴△PDE∽△ODB，即可求得PE的長(zhǎng)．

解答 解：（1）∵直線 y=-2x+4與坐標(biāo)軸分別交于B、D，
∴當(dāng)y=0時(shí)，x=2，當(dāng)x=0時(shí)，y=4，
∴B（2，0），D（0，4），
∴BD=$\sqrt{O{B}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴PB=PD=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{5}$，AC⊥BD，
∴∠APB=∠DOB=90°，
∵∠ABP=∠DBO，
∴△ABP∽△DBO，
∴$\frac{AB}{BD}$=$\frac{PB}{OB}$，即$\frac{AB}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴AB=5，
∴OA=AB-OB=5-2=3，
∴A（-3，0）；
（2）∵∠DPE=∠DOB=90°，∠PDE=∠ODB，
∴△PDE∽△ODB，
∴$\frac{PE}{OB}$=$\frac{PD}{OD}$，即$\frac{PE}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$，
∴PE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo) 特征，菱形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用等，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．