Question

（2013•潮南區(qū)模擬）如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象交于A、B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D，已知OA=

10

，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，-2），tan∠AOC=

1

3

．
（1）求反比例函數(shù)、一次函數(shù)的解析式；
（2）求三角形ABO的面積；
（3）在y軸上存在一點(diǎn)P，使△PDC與△CDO相似，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）過(guò)A作AE⊥x軸于E，由tan∠AOE=

1

3

，得到OE=3AE，根據(jù)勾股定理即可求出AE和OE的長(zhǎng)，即得到A的坐標(biāo)，代入雙曲線即可求出k的值，得到解析式；把B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式即可求出B的坐標(biāo)，把A和B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式即可求出a、b的值，即得到答案．
（2）根據(jù)一次函數(shù)解析式算出D點(diǎn)坐標(biāo)，可以得到OD的長(zhǎng)，S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD，代入相應(yīng)數(shù)值可得答案；
（3）過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AB，交y軸于點(diǎn)P，因?yàn)樵趛軸上存在一點(diǎn)P，使得△PDC與△ODC相似，∠PDC和∠ODC是公共角，∠PCD=∠COD=90°，所以有△PDC∽△CDO，

PD

DC

=

DC

DO

而點(diǎn)C、D分別是一次函數(shù)y=

2

3

x-1的圖象與x軸、y軸的交點(diǎn)，因此有C（

3

2

，0）、D（0，-1）．OC=

3

2

，OD=1，DC=

13

2

進(jìn)而可求出PD=

13

4

，OP=

9

4

．寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）過(guò)A作AE⊥x軸于E，
tan∠AOE=

1

3

，
∴OE=3AE，
∵OA=

10

，由勾股定理得：OE²+AE²=10，
解得：AE=1，OE=3，
∴A的坐標(biāo)為（3，1），
∵A點(diǎn)在雙曲線上y=

k

x

上，
∴1=

k

3

，
∴k=3，
∴雙曲線的解析式y(tǒng)=

3

x

；
∵B（m，-2）在雙曲y=

3

x

上，
∴-2=

3

m

，
解得：m=-

3

2

，
∴B的坐標(biāo)是（-

3

2

，-2），
代入一次函數(shù)的解析式得：

3a+b=1 - 3 2 a+b=-2

，
解得：

a= 2 3 b=-1

，
則一次函數(shù)的解析式為：y=

2

3

x-1；

（2）連接BO，
∵一次函數(shù)的解析式為：y=

2

3

x-1；
∴D（0，-1），
∴S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD=

1

2

×DO×3+

1

2

×DO×

3

2

=

1

2

×1×3+

1

2

×1×

3

2

=

9

4

；

（3）過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AB，交y軸于點(diǎn)P，
∵C，D兩點(diǎn)在直線y=

2

3

x-1上，
∴C，D的坐標(biāo)分別是：C（

3

2

，0），D（0，-1）．
即：OC=

3

2

，OD=1，
∴DC=

13

2

．
∵△PDC∽△CDO，
∴

PD

DC

=

DC

DO

，
∴PD=

DC2

OD

，
又∵OP=DP-OD=

13

4

-1=

9

4

，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

9

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，用待定系數(shù)法一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是求出反比例函數(shù)、一次函數(shù)的解析式．