Question

【題目】如圖①，在正方形ABCD中，F(xiàn)是對(duì)角線(xiàn)AC上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且BF=EF．
（1）求證：BF=DF；
（2）求證：∠DFE=90°；
（3）如果把正方形ABCD改為菱形，其他條件不變（如圖②），當(dāng)∠ABC=50°時(shí)，∠DFE=度．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCF=∠DCF=45°，

∵在△BCF和△DCF中，

，

∴△BCF≌△DCF（SAS）；

∴BF=DF

（2）證明：∵BF=EF，

∴∠FBE=∠FEB，

又∵∠FBE=∠FDC，

∴∠FEB=∠FDC，

又∵∠DGF=∠EGC，

∴∠DFG=∠ECG=90°，

即∠DFE=90°

（3）50
【解析】（3）證明：由（1）知，△BCF≌△DCF， ∴∠CBF=∠CDF，
∵EE=FB，
∴∠CBF=∠E，
∵∠DGF=∠EGC（對(duì)頂角相等），
∴180°﹣∠DGF﹣∠CDF=180°﹣∠EGC﹣∠E，
即∠DFE=∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠ABC，
∴∠DFE=∠ABC=50°，
所以答案是：50．
【考點(diǎn)精析】利用菱形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知菱形的四條邊都相等；菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直，并且每一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角；菱形被兩條對(duì)角線(xiàn)分成四個(gè)全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的積的一半；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線(xiàn)把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線(xiàn)與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形．