Question

6．已知：如圖，在正方形ABCD外取一點(diǎn)E，連接AE，BE，DE．過點(diǎn)A作AE的垂線交ED于點(diǎn)P．若AE=AP=1，PB=$\sqrt{5}$．下列結(jié)論：
①△APD≌△AEB；
②點(diǎn)B到直線AE的距離為$\sqrt{2}$；
③EB⊥ED；
④S_{正方形ABCD}=4+$\sqrt{6}$；
⑤S_△APD+S_△APB=1+$\sqrt{6}$，
其中正確結(jié)論的序號(hào)是（　�。�

• A． ①③④
• B． ①②⑤
• C． ③④⑤
• D． ①③⑤

Answer 1

分析 由于∠EAP=90°，所以∠EAB=∠DAP，又因?yàn)锳P=AE，AD=AB，所以△APD≌△DAP，從而得出∠EBA=∠PDA，即可知∠BED=∠BAD=90°，過點(diǎn)B作BF⊥AE，交AE的延長線于點(diǎn)F，所以△BFE是等腰直角三角形，由勾股定理可求出BE和BF的長度，從而可求出AB²，即正方形ABCD的面積，由于S_△APD+S_△APB=S_△AEB+S_△APB=S_△AEP+S_△PEB，所以求出△AEP與△PEB的面積即可．

解答 解：在正方形ABCD中，
AB=AD，∠BAD=90°，
∵∠EAP=90°，
∴∠EAB+∠BAP=∠DAP+∠BAP，
∴∠EAB=∠DAP，
在△APD與△AEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AE}\\{∠EAB=∠DAP}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△AEB（SAS），
故①正確；

∵△APD≌△AEB，
∴∠EBA=∠PDA，
∴∠BED=∠BAD=90°，
∴BE⊥ED，
故③正確，

過點(diǎn)B作BF⊥AE，交AE的延長線于點(diǎn)F，
∵∠EAP=90°，
AE=AP，
∴∠AEP=45°，
∵∠FEB+∠AEP=90°，
∠FEB+∠EBF=90°，
∴∠AEP=∠EBF=45°，
∴EF=BF，
∵AE=AP=1，
∴由勾股定理可求得：EP=$\sqrt{2}$，
∵PB=$\sqrt{5}$，
∴由勾股定理可求得：BE=$\sqrt{3}$，
∵EF²+BF²=2BF²=BE²，
∴BF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故②錯(cuò)誤，

∵BF=EF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴AF=AE+EF=1+$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴由勾股定理可知：AB²=AF²+BF²=4+$\sqrt{6}$，
故④正確，

∵△APD≌△AEB，
∴S_△APD=S_△AEB，
∴S_△APD+S_△APB
=S_△AEB+S_△APB
=S_△AEP+S_△PEB
=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故⑤錯(cuò)誤，
故選（A）

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形的綜合問題，涉及全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，三角形面積公式等知識(shí)內(nèi)容，綜合程度高，需要學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解答．