Question

【題目】（1）如圖1，在AB直線一側(cè)C、D兩點(diǎn)，在AB上找一點(diǎn)P，使C、D、P三點(diǎn)組成的三角形的周長(zhǎng)最短，找出此點(diǎn)并說明理由．

（2）如圖2，在∠AOB內(nèi)部有一點(diǎn)P，是否在OA、OB上分別存在點(diǎn)E、F，使得E、F、P三點(diǎn)組成的三角形的周長(zhǎng)最短，找出E、F兩點(diǎn)，并說明理由．

（3）如圖3，在∠AOB內(nèi)部有兩點(diǎn)M、N，是否在OA、OB上分別存在點(diǎn)E、F，使得E、F、M、N，四點(diǎn)組成的四邊形的周長(zhǎng)最短，找出E、F兩點(diǎn)，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；（3）答案見解析．

【解析】

（1）由于△PCD的周長(zhǎng)＝PC+CD+PD，而CD是定值，故只需在直線l上找一點(diǎn)P，使PC+PD最小．如果設(shè)C關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為C′，使PC+PD最小就是使PC′+PD最小；

（2）作P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)C、D，連接CD角OA、OB于E、F．此時(shí)△PEF周長(zhǎng)有最小值；

（3）如圖3，作M關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)C，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D，連接CD，交OA于E，OB于F，此時(shí)使得E、F、M、N，四點(diǎn)組成的四邊形的周長(zhǎng)最短．

（1）如圖1，作C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接C′D交AB于點(diǎn)P．則點(diǎn)P就是所要求作的點(diǎn)．理由如下：

在l上取不同于P的點(diǎn)P′，連接CP′、DP′．

∵C和C′關(guān)于直線l對(duì)稱，∴PC＝PC′，P′C＝P′C′，而C′P+DP＜C′P′+DP′，∴PC+DP＜CP′+DP′，∴CD+CP+DP＜CD+CP′+DP′．即△CDP周長(zhǎng)小于△CDP′周長(zhǎng)；

（2）如圖2，作P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)C，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D，連接CD，交OA于E，OB于F，則點(diǎn)E，F就是所要求作的點(diǎn)，理由如下：

在OA，OB上取不同于E，F的點(diǎn)E′，F′．連接CE′、E′P、PF′、DF′．

∵C和P關(guān)于直線OA對(duì)稱，∴PE＝CE，CE′＝PE′，PF＝DF，PF′＝DF′，∴PE+EF+PF＝CE+EF+DF，PE′+PF′+E′F′＝CE′+E′F′+DF′．

∵CE+EF+DF＜CE′+E′F′+DF′，∴PE+EF+PF＜PE′+E′F′+PF′；

（3）如圖3，作M關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)C，作N關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D，連接CD，交OA于E，OB于F，則點(diǎn)E，F就是所要求作的點(diǎn)．理由如下：

在OA，OB上取不同于E，F的點(diǎn)E′，F′，連接CE′、E′F′，DF′．

∵C和M關(guān)于直線OA對(duì)稱，∴ME＝CE，CE′＝ME′，NF＝DF，NF′＝DF′，由（2）得知MN+ME+EF+NF＜MN+ME′+E′F′+F′D．