Question

【題目】Rt△ ABC 中， AB=AC，點(diǎn) D 為 BC 中點(diǎn)．∠ MDN=90°， ∠ MDN 繞點(diǎn) D 旋轉(zhuǎn)，DM、DN 分別與邊 AB、AC 交于 E、F 兩點(diǎn)．下列結(jié)論：① BE+CF=BC；② S△AEF ≤S△ABC；③ S四邊形AEDF=ADEF；④ AD≥ EF；⑤ AD與EF可能互相平分，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

Answer 1

【答案】C

【解析】分析：先由ASA證明△AED≌△CFD，得出，再由勾股定理即可得出從而判斷①；設(shè)AB=AC=a，AE=CF=x，則AF=ax.先由三角形的面積公式得出再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷②；由勾股定理得到EF的表達(dá)式，利用二次函數(shù)性質(zhì)求得EF最小值為而所以，從而④錯(cuò)誤；先得出

S四邊形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=再由得到

∴ADEF>S四邊形AEDF，所以③錯(cuò)誤；如果四邊形AEDF為平行四邊形，則AD與EF互相平分，此時(shí)DF∥AB，DE∥AC，又D為BC中點(diǎn)，所以當(dāng)E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)時(shí)，AD與EF互相平分，從而判斷⑤．

詳解：∵Rt△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，

∴，AD=BD=CD，

∵

∴

∴∠ADE=∠CDF.

在△AED與△CFD中，

∵

∴△AED≌△CFD(ASA)，

∴AE=CF，

在Rt△ABD中,

故①正確；

設(shè)AB=AC=a，AE=CF=x，則AF=ax.

∵，

∴當(dāng)時(shí),有最大值

又∵

∴

故②正確；

∴當(dāng)時(shí),取得最小值

∴ (等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立)，

而∴

故④錯(cuò)誤；

由①的證明知△AED≌△CFD，

∴S四邊形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=，

∵

∴

∴ADEF>S四邊形AEDF，

故③錯(cuò)誤；

當(dāng)E.F分別為AB、AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AEDF為正方形，此時(shí)AD與EF互相平分.

故⑤正確。

綜上所述，正確的有：①②⑤，共3個(gè).

故選C.