Question

19、我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例．如圖，這個(gè)三角形的構(gòu)造法則：兩腰上的數(shù)都是1，其余每個(gè)數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和，它給出了（a+b）ⁿ（n為正整數(shù)）的展開(kāi)式（按a的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律．例如，在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對(duì)應(yīng)（a+b）²=a²+2ab+b²展開(kāi)式中的系數(shù)；第四行的四個(gè)數(shù)1，3，3，1，恰好對(duì)應(yīng)著（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b²展開(kāi)式中的系數(shù)等等．

（1）根據(jù)上面的規(guī)律，寫(xiě)出（a+b）⁵的展開(kāi)式．
（2）利用上面的規(guī)律計(jì)算：2⁵-5×2⁴+10×2³-10×2²+5×2-1．

Answer 1

分析：（1）由（a+b）=a+b，（a+b）²=a²+2ab+b²，（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³可得（a+b）ⁿ的各項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)除首尾兩項(xiàng)都是1外，其余各項(xiàng)系數(shù)都等于（a+b）^n-1的相鄰兩個(gè)系數(shù)的和，由此可得（a+b）⁴的各項(xiàng)系數(shù)依次為1、4、6、4、1；因此（a+b）⁵的各項(xiàng)系數(shù)依次為1、5、10、10、5、1．
（2）將2⁵-5×2⁴+10×2³-10×2²+5×2-1寫(xiě)成“楊輝三角”的展開(kāi)式形式，逆推可得結(jié)果．

解答：解：（1）（a+b）⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵（3分）

（2）原式=2⁵+5×2⁴×（-1）+10×2³×（-1）²+10×2²×（-1）³+5×2×（-1）⁴+（-1）⁵（5分）
=（2-1）⁵
=1（6分）
注：不用以上規(guī)律計(jì)算不給分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了完全平方公式，學(xué)生的觀察分析邏輯推理能力，讀懂題意并根據(jù)所給的式子尋找規(guī)律，是快速解題的關(guān)鍵．