Question

如圖，等腰直角三角形ABC中，AC=BC，將△ABC繞斜邊AB的中點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至△DEF的位置，DF交AB于點(diǎn)P，DE交BC于點(diǎn)Q．請(qǐng)猜想OQ與OP有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠A=∠B=45°，而OA=OB，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得DO=AO，∠D=∠A=45°，則OB=OD，∠B=∠D，易證△OBQ≌△ODP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到OQ=OP．
解答：解：OQ=OP．  
證明如下：
∵等腰直角三角形ABC中，AC=BC，AB的中點(diǎn)為O，
∴AO=BO，∠A=∠B=45°，
又∵△DEF為△ABC繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所得，
∴DO=AO，∠D=∠A=45°，
∴OB=OD，∠B=∠D，
在△OBQ和△ODP中

∴△OBQ≌△ODP，
∴OQ=OP．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．