Question

如圖所示，拋物線y=ax²+c（a＞0）經(jīng)過(guò)梯形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)，梯形的底AD在x軸上，其中A（-2，0），B（-1，-3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)M為y軸上任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M到A，B兩點(diǎn)的距離之和為最小時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）在第（2）問(wèn)的結(jié)論下，拋物線上的點(diǎn)P使S_△PAD=4S_△ABM成立，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）由題意可得：

4a+c=0 a+c=-3

，
解得

a=1 c=-4

；
∴拋物線的解析式為：y=x²-4；

（2）由于A、D關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸（即y軸）對(duì)稱，連接BD．
則BD與y軸的交點(diǎn)即為M點(diǎn)；
設(shè)直線BD的解析式為：y=kx+b（k≠0），則有：

-k+b=-3 2k+b=0

，
解得

k=1 b=-2

；
∴直線BD的解析式為y=x-2，點(diǎn)M（0，-2）；

（3）設(shè)BC與y軸的交點(diǎn)為N，則有N（0，-3）；
∴MN=1，BN=1，ON=3；
S_△ABM=S_梯形AONB-S_△BMN-S_△AOM=

1

2

（1+2）×3-

1

2

×2×2-

1

2

×1×1=2；
∴S_△PAD=4S_△ABM=8；
由于S_△PAD=

1

2

AD•|y_P|=8，
即|y_P|=4；
當(dāng)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為4時(shí)，x²-4=4，
解得x=±2

2

，
∴P₁（-2

2

，4），P₂（2

2

，4）；
當(dāng)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為-4時(shí)，x²-4=-4，
解得x=0，
∴P₃（0，-4）；
故存在符合條件的P點(diǎn)，且P點(diǎn)坐標(biāo)為：P₁（-2

2

，4），P₂（2

2

，4），P₃（0，-4）．