Question

【題目】如圖，在矩形中，，，，分別為，邊的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．若點(diǎn)的速度是點(diǎn)的速度的2倍，在點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)的過(guò)程中，線(xiàn)段長(zhǎng)度的最大值為_________，線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值為_________．

Answer 1

【答案】

【解析】

連接EF，則EF⊥AB，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥CD于點(diǎn)G，如圖1，由于，而PG=3，所以當(dāng)GQ最大時(shí)PQ最大，由題意可得當(dāng)P、A重合時(shí)GQ最大，據(jù)此即可求出PQ的最大值；設(shè)EF與PQ交于點(diǎn)M，連接BM，取BM的中點(diǎn)O，連接HO，如圖2，易證△FQM∽△EPM，則根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得EM為定值2，于是BM的長(zhǎng)度可得，由∠BHM=∠BEM=90°可得B、E、H、M四點(diǎn)共圓，且圓心為點(diǎn)O，于是當(dāng)D、H、O三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，DH的長(zhǎng)度最小，最小值為DO－OH，為此只需連接DO，求出DO的長(zhǎng)即可，可過(guò)點(diǎn)O作ON⊥CD于點(diǎn)N，作OK⊥BC于點(diǎn)K，如圖3，構(gòu)建Rt△DON，利用勾股定理即可求出DO的長(zhǎng)，進(jìn)而可得答案．

解：連接EF，則EF⊥AB，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥CD于點(diǎn)G，如圖1，則PE=GF，PG=AD=3，

設(shè)FQ=t，則GF=PE=2t，GQ=3t，

在Rt△PGQ中，由勾股定理得：，

∴當(dāng)t最大即EP最大時(shí)，PQ最大，

由題意知：當(dāng)點(diǎn)P、A重合時(shí)，EP最大，此時(shí)EP=2，則t=1，

∴PQ的最大值=；

設(shè)EF與PQ交于點(diǎn)M，連接BM，取BM的中點(diǎn)O，連接HO，如圖2，

∵FQ∥PE，∴△FQM∽△EPM，

∴，

∵EF=3，

∴FM=1，ME=2，

∴，

∵∠BHM=∠BEM=90°，

∴B、E、H、M四點(diǎn)共圓，且圓心為點(diǎn)O，

∴，

∴當(dāng)D、H、O三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，DH的長(zhǎng)度最小，

連接DO，過(guò)點(diǎn)O作ON⊥CD于點(diǎn)N，作OK⊥BC于點(diǎn)K，如圖3，則OK=BK=1，

∴NO=2，CN=1，∴DN=3，

則在Rt△DON中，，

∴DH的最小值=DO－OH=．

故答案為：，．