Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有拋物線y＝a（x﹣2）2﹣2和y＝a（x﹣h）2，拋物線y＝a（x﹣2）2﹣2經(jīng)過原點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)A，與其對稱軸交于點(diǎn)B；點(diǎn)P是拋物線y＝a（x﹣2）2﹣2上一動點(diǎn)，且點(diǎn)P在x軸下方，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線y＝a（x﹣h）2于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作PD的垂線交拋物線y＝a（x﹣h）2于點(diǎn)D′（不與點(diǎn)D重合），連接PD′，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m：

（1）①直接寫出a的值；

②直接寫出拋物線y＝a（x﹣2）2﹣2的函數(shù)表達(dá)式的一般式；

（2）當(dāng)拋物線y＝a（x﹣h）2經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)△PDD′與△OAB重疊部分圖形周長為L：

①求的值；

②直接寫出L與m之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)h為何值時(shí)，存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)O、A、D、D′為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？直接寫出h的值．

Answer 1

【答案】（1）①；②y＝﹣2x；

（2）①1；

②L＝；

（3）h＝±．

【解析】

（1）①將x＝0，y＝0代入y＝a（x﹣2）2﹣2中計(jì)算即可；②y＝﹣2x；

（2）將（0，0）代入y＝a（x﹣h）2中，可求得a＝，y＝x2，待定系數(shù)法求OB、AB的解析式，由點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，即可表示出相應(yīng)線段求解；

（3）以點(diǎn)O、A、D、D′為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，DD′＝OA，可知點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為2，再由AD＝OA＝4即可求出h的值．

解：（1）①將x＝0，y＝0代入y＝a（x﹣2）2﹣2中，

得：0＝a（0﹣2）2﹣2，

解得：a＝；

②y＝﹣2x；．

（2）∵拋物線y＝a（x﹣h）2經(jīng)過原點(diǎn)，a＝；

∴y＝x2，

∴A（4，0），B（2，﹣2），

易得：直線OB解析式為：y＝﹣x，直線AB解析式為：y＝x﹣4

如圖1，

，

①

②如圖1，當(dāng)0＜m≤2時(shí)，L＝OE+EF+OF＝，

當(dāng)2＜m＜4時(shí)，如圖2，設(shè)PD′交x軸于G，交AB于H，PD交x軸于E，交AB于F，

則，

，

∵DD′∥EG

，即：EGPD＝PEDD′，得：EG（2m）＝（2m﹣m2）2m

∴EG＝2m﹣m2，EF＝4﹣m

∴L＝EG+EF+FH+GH＝EG+EF+PG

；

（3）如圖3，

∵OADD′為菱形

∴AD＝AO＝DD′＝4，

∴PD＝2，