Question

【題目】如圖，正六邊形ABCDEF中，P、Q兩點(diǎn)分別為△ACF、△CEF的內(nèi)心．若AF=2，則PQ的長(zhǎng)度為何？（　　）

A. 1 B. 2 C. 2﹣2 D. 4﹣2

Answer 1

【答案】C

【解析】

先判斷出PQ⊥CF，再求出AC=2，AF=2，CF=2AF=4，利用△ACF的面積的兩種算法即可求出PG，然后計(jì)算出PQ即可.

解：如圖，連接PF，QF，PC，QC

∵P、Q兩點(diǎn)分別為△ACF、△CEF的內(nèi)心，

∴PF是∠AFC的角平分線，FQ是∠CFE的角平分線，

∴∠PFC=∠AFC=30°，∠QFC=∠CFE=30°，

∴∠PFC=∠QFC=30°，

同理，∠PCF=∠QCF

∴PQ⊥CF，

∴△PQF是等邊三角形，

∴PQ=2PG；

易得△ACF≌△ECF，且內(nèi)角是30，60，90的三角形，

∴AC=2，AF=2，CF=2AF=4，

∴S△ACF=AF×AC=×2×2=2，

過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AF，PN⊥AC，PQ交CF于G，

∵點(diǎn)P是△ACF的內(nèi)心，

∴PM=PN=PG，

∴S△ACF=S△PAF+S△PAC+S△PCF

=AF×PM+AC×PN+CF×PG

=×2×PG+×2×PG+×4×PG

=（1++2）PG

=（3+）PG

=2，

∴PG==，

∴PQ=2PG=2()=2-2.

故選C.