Question

（2008•莆田質(zhì)檢）如圖，直角梯形ABCD中，點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，B（6，0），BC=5，cosB=．
（1）求梯形ABCD的面積和周長(zhǎng)；
（2）若點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)E任作直線，問(wèn)是否存在直線l將梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，請(qǐng)求出對(duì)應(yīng)的直線l解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖過(guò)C作CF⊥AB于F，這樣把梯形分割成矩形和直角三角形，然后解直角三角形BCF，可以求出BF，CF，最后求出梯形ABCD的面積和周長(zhǎng)；
（2）存在直線l將梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分，設(shè)AE=x，可以根據(jù)周長(zhǎng)和面積平分得到關(guān)于x的方程，解方程可以求出x的值，然后結(jié)合圖形的實(shí)際情況判斷有三種情況，取舍不存在的情況．
解答：解：（1）過(guò)C作CF⊥AB于F，
∵BC=5，cosB=，
∴BF=4，CF=3，∴AD=3，
∴AB=6，
∴CD=AF=2，
∴梯形ABCD周長(zhǎng)=AB+BC+CD+AD=6+5+2+3=16，
S=（AB+CD）•AD
=×8×3=12．

（2）令A(yù)E=x，（0≤x≤6），
分三種情況討論：
①如圖，

若l與線段AD交于點(diǎn)P，則AP=8-x，
S_△AEP=AE•AP=x（8-x），
由S_△AEP=S_梯形ABCD=6得：
x²-8x+12=0，
解得：x=2或6，即AE=2，AP=6時(shí)，直線l將梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分，直線l不存在；
當(dāng)AE=6，AP=2時(shí)，直線l將梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分．
②如圖，

若l與線段DC交于點(diǎn)P，
則DP=5-x，
S_{四邊形AEPD}=（x+5-x）×3=≠6，
此時(shí)直線l不存在．
③如圖，

若l與線段BC交于點(diǎn)P，
則BE=6-x，
∵AD+DC+CP+AE=PB+EB，
3+2+5-BP+x=BP+6-x，
∴PB=2+x，
過(guò)P作PG⊥AB于G，則，
∴PG=（2+x），
S_△PEB=（6-x）（2+x），
由S_△PEB=6得：x²-4x+8=0，
∵△＜0，此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，
此時(shí)直線l不存在，
綜上所述，當(dāng)AE=6，AP=2時(shí)，直線l將梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分．
點(diǎn)評(píng)：此題比較復(fù)雜，尤其是第二問(wèn)圖形的變換與分類討論，它主要考查了梯形的常用輔助線-作高線，還綜合了方程，一次函數(shù)，梯形的知識(shí)，對(duì)學(xué)生的要求比較高．