Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AB，點(diǎn)C，D都在AB上方，AD交△BCD的外接圓⊙O于點(diǎn)E．

（1）求證：∠CAB＝∠AEC．

（2）若BC＝3．

①EC∥BD，求AE的長(zhǎng)．

②若△BDC為直角三角形，求所有滿足條件的BD的長(zhǎng)．

（3）若BC＝EC＝ ，則＝　 　．（直接寫出結(jié)果即可）

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①AE＝，②BD＝ ；（3）.

【解析】

（1）利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及等角的余角相等的性質(zhì)易證明出結(jié)論成立；

（2）延長(zhǎng)AC交BD于點(diǎn)F，利用平行線等分線段和相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求解即可；

（3）利用勾股定理和相似三角形分別求出AE和BD的長(zhǎng)，依據(jù)對(duì)應(yīng)邊等高三角形的面積比是對(duì)應(yīng)邊之比，進(jìn)而求解；

證明：（1）∵四邊形BCED內(nèi)接于⊙O

∴∠AEC＝∠DBC

又∵DB⊥AB

∴∠ABC+∠DBC＝90°

又∵∠ACB＝90°

∴在Rt△ABC中，∠CAB+∠ABC＝90°

∴∠DBC＝∠CAB

∴∠CAB＝∠AEC

（2）①如圖1延長(zhǎng)AC交BD于點(diǎn)F，延長(zhǎng)EC交AB于點(diǎn)G．

∵在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝3

∴由勾股定理得，AC＝4

又∵BC⊥AF，AB⊥BF

∠AFB＝∠BFC

∴Rt△AFB∽Rt△BFC

∴

∴BC2＝CFAC

即9＝CF4，解得，CF＝

又∵EC∥BD

∴CG⊥AB

∴ABCG＝ACBC

即5CG＝4×3，解得，CG＝

又∵在Rt△ACG中，AG＝=

又∵EC∥DB

∴∠AEC＝∠ADB

由（1）得，∠CAB＝∠AEC

∴∠ADB＝∠CAB

又∵∠ACB＝∠DBA＝90°

∴Rt△ABC∽Rt△DBA

∴

得AD＝

又∵EG∥BD

∴

得AE＝

②當(dāng)△BDC是直角三角形時(shí)，如圖二所示

∵∠BCD＝90°

∴BD為⊙O直徑

又∵∠ACB＝90°

∴A、C、D三點(diǎn)共線

即BC⊥AD時(shí)垂足為C，此時(shí)C點(diǎn)與E點(diǎn)重合．

又∵∠DAB＝∠BAC，∠ACB＝ABD＝90°

∴Rt△ACB∽Rt△ABD

∴

得AD＝

又∵在Rt△ABD中，BD＝

③如圖三，由B、C、E都在⊙O上，且BC＝CE＝

∴

∴∠ADC＝∠BDC

即DC平分∠ADB

過(guò)C作CM⊥BD，CN⊥AD，CH⊥AB垂足分別為M、N．，H．

∵在Rt△ACB中AB＝5，BC＝

∴AC＝2

又∵在Rt△ACB中CH⊥AB

∴ABCH＝ACBC

即5CH＝2×

解得，CH＝2

∴MB＝2

又∵DC平分∠ADB

∴CM＝CN

又∵在Rt△CHB中BC＝5，CH＝2

∴HB＝1

∴CM＝CN＝1

又∵在△DCN與△DCM中

∴△DCN與△DCM（AAS）

∴DN＝DM

設(shè)DN＝DM＝x

則BD＝x+2，AD＝x+

在Rt△ABD中由AB2+BD2＝AD2得，

25+（x+2）2＝（x+）2

解得，x＝

∴BD＝BM+MD＝2+＝

又由（1）得∠CAB＝∠AEC，且∠ENC＝∠ACB

∴△ENC∽△ACB

∴

∴NE＝2

又∵在Rt△CAN中CN＝1，AC＝2

∴AN＝＝

∴AE＝AN+NE＝+2

又∵S△BCD＝BDCM，S△ACE＝AECN，CM＝CN

∴

故.