Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形△ABO的邊長(zhǎng)為4．

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)．

（2）若點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△PAB的面積為S，求S與t的關(guān)系式，并直接寫出t的范圍．

（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，若S＝，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使點(diǎn)P、Q、A、B圍成的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)Q坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）A(2，2)；（2）當(dāng)0≤t＜4時(shí)，S=-t+4；當(dāng)t＞4時(shí)，S=t﹣4；（3）存在， Q的坐標(biāo)為(3，2)或(1，2）或(7，﹣2)

【解析】

（1）利用等邊三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（2）分點(diǎn)P在邊OB和OB的延長(zhǎng)線上，利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論；

（3）分三種情況，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和平行四邊形的對(duì)角線互相平分，建立方程求解即可得出結(jié)論．

解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于D，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠AOD＝60°，OD＝OB＝2，

在Rt△AOD中，AD＝OD＝2，

∴A(2，2)；

（2）由運(yùn)動(dòng)知，OP＝t，

當(dāng)0≤t＜4時(shí)，如圖2，BP＝OB﹣OP＝4﹣t，

∴S＝S△ABP＝BPAD＝(4﹣t)×2＝﹣t+4，

當(dāng)t＞4時(shí)，如圖3，BP＝OP﹣OB＝t﹣4，

∴S＝S△ABP＝BPAD4＝(t﹣4×2＝t﹣4；

（3）由（2）知，點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，t＞4，S＝t﹣4，

∵S＝，

∴t﹣4＝，

∴t＝5，

∴P(5，0)，

∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，

∴B(4，0)，

∵A(2，2)，設(shè)Q(m，n)，

∵使點(diǎn)P、Q、A、B圍成的四邊形是平行四邊形，

∴①當(dāng)AP為對(duì)角線時(shí)，

∴AP與BQ互相平分，

∴(2+5)＝(4+m)，(2+0)＝(0+n)，

∴m＝3，n＝2，

∴Q(3，2)，

②當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，∴AB與PQ互相平分，

∴(2+4)＝(5+m)，(2+0)＝(0+n)，

∴m＝1，n＝2，

∴Q(1，2)，

③當(dāng)BP為對(duì)角線時(shí)，∴BP與AQ互相平分，

∴(4+5)＝(2+m)，(0+0)＝(2+n)，

∴m＝7，n＝﹣2，

∴Q(7，﹣2)，

即：滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3，2)或(1，2)或(7，﹣2)．

故答案為：（1）A(2，2)；（2）當(dāng)0≤t＜4時(shí)，S=-t+4；當(dāng)t＞4時(shí)，S=t﹣4；（3）存在， Q的坐標(biāo)為(3，2)或(1，2)或(7,﹣2).