12.已知:直線l1:y=kx+b(k>0)過點F(-4,4),直線l1與過點(-2,4)的反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$(x<0)的圖象交于A,B兩點,點A的坐標(biāo)為(x1,y1),點B的坐標(biāo)為(x2,y2)(x2<x1<0)
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)若過A作AC⊥x軸于C,過點B作BD⊥y軸于D,交AC于點E,AE=4$\sqrt{2}$,試求直線l1的解析式;
(3)如圖2,把直線l1繞點F旋轉(zhuǎn),這條動直線始終與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$(x<0)的圖象交于P、Q兩點.過點P、點Q分別作x軸的平行線,在這兩條平行線上(P、Q兩點的右側(cè)如圖所示)分別截取PM=PF,QN=QF,連接MN并延長交x軸于點H.試問∠MHO的大小是否隨著直線l1的旋轉(zhuǎn)變化而變化,請作出判斷并證明你的結(jié)論.

分析 (1)由點的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可得出結(jié)論;
(2)將點F的坐標(biāo)代入直線l1的解析式中找出k、b的關(guān)系,再將反比例函數(shù)解析式x=-$\frac{8}{y}$代入直線l1的解析式中,由根與系數(shù)的關(guān)系找出y1+y2=4k+4,y1•y2=8k,結(jié)合AE=4$\sqrt{2}$,即可得出關(guān)于k的方程,解方程即可得出結(jié)論;
(3)由點P、Q在直線l1上,可找出x1、y1以及x2、y2之間的關(guān)系,由PM=PF,QN=QF找出點M、N的坐標(biāo),過點M作y軸的平行線,交QN的延長線于點K,分別找出MK、NK,由二者間的關(guān)系即可得出結(jié)論.

解答 解:(1)∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$(x<0)的圖象過點(-2,4),
∴k=-2×4=-8,
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-$\frac{8}{x}$.
(2)直線l1:y=kx+b(k>0)過點F(-4,4),
∴4=-4k+b,即b=4k+4,
∴直線l1:y=kx+4k+4(k>0).
將x=-$\frac{8}{y}$代入到y(tǒng)=kx+4k+4中,整理得:y2-(4k+4)y+8k=0,
∴y1+y2=4k+4,y1•y2=8k,
∴y1-y2=$\sqrt{({y}_{1}+{y}_{2})^{2}-4{y}_{1}•{y}_{2}}$=$\sqrt{(4k+4)^{2}-32k}$=4$\sqrt{2}$,
解得:k=1或k=-1(舍去),
∴直線l1的解析式為y=x+8.
(3)∵直線l1:y=kx+4k+4(k>0),P(x1,y1),Q(x2,y2)(x2<x1<0),
∴y1=kx1+4k+4,y2=kx2+4k+4,
PF=PM=$\sqrt{({x}_{1}+4)^{2}+({y}_{1}-4)^{2}}$=$\sqrt{({x}_{1}+4)^{2}+(k{x}_{1}+4k)^{2}}$=(x1+4)$\sqrt{1+{k}^{2}}$,
QF=QN=$\sqrt{({x}_{2}+4)^{2}+({y}_{2}-4)^{2}}$=$\sqrt{({x}_{2}+4)^{2}+(k{x}_{2}+4k)^{2}}$=-(x2+4)$\sqrt{1+{k}^{2}}$.
∴M[x1+(x1+4)$\sqrt{1+{k}^{2}}$,y1],N[x2-(x2+4)$\sqrt{1+{k}^{2}}$,y2].
過點M作y軸的平行線,交QN的延長線于點K,如圖所示.
則MK=y1-y2,NK=(x1-x2)+(x1+4)$\sqrt{1+{k}^{2}}$+(x2+4)$\sqrt{1+{k}^{2}}$=(x1-x2)+(x1+x2+8)$\sqrt{1+{k}^{2}}$,
將y=-$\frac{8}{x}$代入y=kx+4k+4中,整理得:kx2+(4k+4)x+8=0,
∴x1+x2=-$\frac{4k+4}{k}$,x1•x2=$\frac{8}{k}$,
∴x1-x2=$\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\sqrt{(-\frac{4k+4}{k})^{2}-4×\frac{8}{k}}$=$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}}{k}$,
NK=$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}}{k}$+(-$\frac{4k+4}{k}$+8)$\sqrt{1+{k}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}}{k}$+$\frac{4k-4}{k}$$\sqrt{1+{k}^{2}}$=4$\sqrt{1+{k}^{2}}$,
MK=y1-y2=k(x1-x2)=4$\sqrt{1+{k}^{2}}$,
故MK=NK,
∴直線MN與x軸的夾角∠MHO為定值45°.

點評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、根與系數(shù)的關(guān)系以及兩點間的距離公式,解題的關(guān)鍵是:(1)利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求出k值;(2)得出關(guān)于k的方程;(3)找出MK=NK.本題屬于中檔題,難度不小,解決該題型題目時,巧妙的利用線段相等找出點M、N的坐標(biāo),再將反比例函數(shù)解析式代入一次函數(shù)解析式中利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出來線段的長度是關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

20.下列銀行標(biāo)志圖案中,是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是( 。
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

1.下列運算正確的是( 。
A.a3•a=a3B.(-2a23=-6a5C.a5+a5=a10D.8a5b2÷2a3b=4a2b

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

18.下列函數(shù)中,是一次函數(shù)的是( 。
A.$y=\frac{1}{x}+2$B.y=x+2C.y=x2+2D.y=kx+b

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

7.在△ABC和△DEF中,根據(jù)下列條件,能判斷△ABC≌△DEF的是( 。
A.邊長為4、6的兩個等腰三角形
B.兩個角分別為25°、37°的兩個等腰三角形
C.兩邊各為3、4的兩個直角三角形
D.邊長為2、6的兩個等腰三角形.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

17.若關(guān)于x的方程$\frac{x}{x-3}=2+\frac{2m}{x-3}$的解是正數(shù),則m的取值范圍是m<3且m≠$\frac{3}{2}$.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

4.下列各式能用平方差公式的是(  )
A.(2a-b)(-b+2a)B.(-m-n)(-m+n)C.(a+b-c)(a+b-c)D.(a2-b)(b-a2

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

1.計算:
(1)$\frac{ab^2}{6c^2}$•$\frac{-4c}{3a^2b^2}$
(2)$\frac{1-x}{2-x}$-$\frac{1}{x-2}$-3.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

2.如圖,直線y=kx+b(k>0)與x軸的交點為(-2,0),寫出k與b的關(guān)系式b=2k,則關(guān)于x的不等式kx+b<0的解集是x<-2.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案