Question

如圖所示已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．
（1）∠MON=

 

°；
（2）如圖∠AOB=90°，將OC繞O點向下旋轉(zhuǎn)，使∠BOC=2x°，仍然分別作∠AOC，∠BOC的平分線OM，ON，能否求出∠MON的度數(shù)？若能，求出其值；若不能，試說明理由；
（3）∠AOB=α，∠BOC=β，仍然分別作∠AOC，∠BOC的平分線OM，ON，能否求出∠MON的度數(shù)？若能，求∠MON的度數(shù)；并從你的求解中看出什么規(guī)律嗎？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)角平分線的以求出∠MOC與∠NOC的度數(shù)，然后相減即可求出∠MON的度數(shù)；
（2）根據(jù)（1）的求解思路，先利用角平分線的定義表示出∠MOC與∠NOC的度數(shù)，然后相減即可得到∠MON的度數(shù)；
（3）根據(jù)前兩題的求解思路把具體數(shù)據(jù)換為α、β，然后整理即可得出規(guī)律．

解答：解：（1）∵∠AOB=90°，∠BOC=30°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+30°=120°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=

1

2

∠AOC=

1

2

×120°=60°，
∠NOC=

1

2

∠BOC=

1

2

×30°=15°，
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=60°-15°=45°；（3分）

（2）能．
∵∠AOB=90°，∠BOC=2x°，
∴∠AOC=90°+2x°，（4分）
∵OM、ON分別平分∠AOC，∠BOC，
∴∠MOC=

1

2

∠AOC=

1

2

（90°+2x°）=45°+x，
∴∠CON=

1

2

∠BOC=x，（5分）
∴∠MON=∠MOC-∠CON=45°+x-x=45°；（6分）

（3）能．
∵∠AOB=α，∠BOC=β，
∴∠AOC=α+β，（7分）
∵OM、ON分別平分∠AOC，∠BOC，
∴∠MOC=

1

2

∠AOC=

1

2

（α+β），
∠CON=

1

2

∠BOC=

1

2

β，（8分）
∴∠MON=∠MOC-∠CON=

1

2

（α+β）-

1

2

β=

1

2

α，
即∠MON=

1

2

α．（9分）

點評：本題考查了角的計算，角平分線的定義，讀懂題意，看懂題目圖形找準(zhǔn)解題思路是解題的關(guān)鍵，此類題目通常都是各小題都用同一個解題思路，所以準(zhǔn)確確定思路比較關(guān)鍵．