【題目】如圖,在平面直角坐標系中,△ABC 的一邊 AB x 軸上,∠ABC=90°,點 C(4,8) 在第一象限內(nèi),AC y 軸交于點 E,拋物線 y=+bx+c 經(jīng)過 A、B 兩點,與 y 軸交于點 D(0,﹣6).

(1)請直接寫出拋物線的表達式;

(2)求 ED 的長;

(3)若點 M x 軸上一點(不與點 A 重合),拋物線上是否存在點 N,使∠CAN=∠MAN.若存在,請直接寫出點 N 的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=x﹣6;(2);(3) S=﹣m2+m+26(﹣2<m<4);(4)滿足條件的N點坐標為(,);(,﹣).

【解析】1)先確定B(4,0),再利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式為y=x2-x-6;

(2)先利用待定系數(shù)法求得直線AC的解析式為y=x+,則可確定E(0,),然后計算DE的長;

(3)如圖2,當(dāng)點Mx的正半軸,ANBCF,作FH⊥ACH,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得FH=FB,易得AH=AB=6,再利用∠ACB的余弦可求出CF=5,則F(4,3),接著求出直線AF的解析式為y=x+1,于是通過解方程組,N點坐標為();當(dāng)點M′在x的負半軸上時,AN′交y軸與G,先在證明∴Rt△OAG∽Rt△BFA,在利用相似比求出OG=4,所以G(0,-4),接下來利用待定系數(shù)法求出直線AG的解析式為y=-2x-4,然后解方程組N′的坐標.

(1)∵BC⊥x軸,點C(4,8),

∴B(4,0),

把B(4,0),C(0,﹣6)代入y=+bx+c得,解得

∴拋物線解析式為y=x﹣6;

(2)設(shè)直線AC的解析式為y=px+q,

把A(﹣2,0),C(4,8)代入得,解得,

∴直線AC的解析式為y=x+

當(dāng)x=0時,y=x+=,則E(0,),

∴DE=+6=;

(3)如圖2,當(dāng)點M在x的正半軸,AN交BC于F,作FH⊥AC于H,

則FH=FB,

易得AH=AB=6,

∵AC=

∴CH=10﹣6=4,

∵cos∠ACB=

∴CF=,

∴F(4,3),

易得直線AF的解析式為y=x+1,

解方程組,

∴N點坐標為(,);

當(dāng)點M′在x的負半軸上時,AN′交y軸與G,

∵∠CAN′=∠M′AN′,

∴∠KAM′=∠CAK,

而∠CAN=∠MAN,

∴∠KAC+∠CAN=90°,

而∠MAN+∠AFB=90°,

∴∠KAC=∠AFB,

而∠KAM′=∠GAO,

∴∠GAO=∠AFB,

∴Rt△OAG∽Rt△BFA,

,即,解得OG=4,

∴G(0,﹣4),

易得直線AG的解析式為y=﹣2x﹣4,

解方程組,

∴N′的坐標為(,﹣),

綜上所述,滿足條件的N點坐標為(,);(,﹣).

練習(xí)冊系列答案
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(問題情境)

如圖,數(shù)軸上點表示的數(shù)為,點表示的數(shù)為8,點從點出發(fā),以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動,同時點從點出發(fā),以每秒2個單位長度的速度向左勻速運動,設(shè)運動時間為秒(.

(綜合運用)

1)填空:

、兩點之間的距離________,線段的中點表示的數(shù)為__________.

②用含的代數(shù)式表示:秒后,點表示的數(shù)為____________;點表示的數(shù)為___________.

③當(dāng)_________時,、兩點相遇,相遇點所表示的數(shù)為__________.

2)當(dāng)為何值時,.

3)若點的中點,點的中點,點在運動過程中,線段的長度是否發(fā)生變化?若變化,請說明理由;若不變,請求出線段的長.

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1)設(shè)的長度為,的面積,通過取邊上的不同位置的點,經(jīng)分析和計算,得到了的幾組值,如下表:

0

1

2

3

4

5

6

3

1

0

2

3

根據(jù)上表可知,______,______.

2)在平面直角坐標系中,畫出(1)中所確定的函數(shù)的圖象.

3)在(1)的條件下,令的面積為.

①用的代數(shù)式表示.

②結(jié)合函數(shù)圖象.解決問題:當(dāng)時,的取值范圍為______.

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A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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