Question

【題目】如圖1，在中，，，把一塊含角的三角板的直角頂點放在的中點上(直角三角板的短直角邊為，長直角邊為)，點在上，點在上.

(1)求重疊部分的面積；

(2)如圖2，將直角三角板繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)30度，交于點，交于點.

①請說明：；

②在此條件下，與直角三角板重疊部分的面積會發(fā)生變化嗎？請說明理由，并求出重疊部分的面積.

(3)如圖3，將直角三角板繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)度()，交于點，交于點，則的結(jié)論仍成立嗎？重疊部分的面積會變嗎？(請直接寫出結(jié)論，不需要說明理由)

Answer 1

【答案】(1)S△BCD=；(2)①證明見解析；②重疊部分的面積不變?yōu)?/span>；(3)DM＝DN的結(jié)論仍成立，重疊部分面積不會變.

【解析】

（1）重疊部分△BCD是一個等腰直角三角形，求出其直角邊，即可求解；

（2）①連接BD，先證得BD＝CD，∠C＝∠NBD＝45°，進(jìn)而求出△CDM≌△BDN，即可得到DM＝DN；②利用①中的結(jié)論△CDM≌△BDN即可得出答案；

（3）證明過程類似（2），根據(jù)（2）中的結(jié)論，可以直接寫出．

解：(1)∵AB＝BC，AC＝2，D是AC的中點，∠ABC＝90°，

∴∠BCD＝∠A＝∠CBD＝45°，BD⊥AC.

∴CD＝BD＝AC＝1.

∴S△BCD＝CD·BD＝×1×1＝.

(2)①連接BD，

∵AB＝BC，D是AC的中點，∠ABC＝90°，

∴∠C＝∠A＝∠CBD＝∠ABD＝45°，

∴BD＝CD，∠C＝∠NBD＝45°，

又∵直角三角板DEF繞D點按順時針方向旋轉(zhuǎn)30度，

∴∠CDM＝∠BDN=30°，

∴△CDM≌△BDN(ASA).

∴DM＝DN.

②由①知△CDM≌△BDN，

∴S四邊形BNDM＝S△BCD＝，

即此條件下重疊部分的面積不變?yōu)?/span>.

(3)DM＝DN的結(jié)論仍成立，重疊部分面積不會變.（證明過程類似（2））