Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx(a＜0）過點(diǎn)E(10,0)，矩形ABCD的邊AB在線段OE上（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），點(diǎn)C，D在拋物線上．設(shè)A(t,0)，當(dāng)t=2時，AD=4．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．

（2）當(dāng)t為何值時，矩形ABCD的周長有最大值？最大值是多少？

（3）保持t=2時的矩形ABCD不動，向右平移拋物線．當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點(diǎn)G，H，且直線GH平分矩形的面積時，求拋物線平移的距離．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)t=1時，矩形ABCD的周長有最大值，最大值為；（3）拋物線向右平移的距離是4個單位．

【解析】

（1）由點(diǎn)E的坐標(biāo)設(shè)拋物線的交點(diǎn)式，再把點(diǎn)D的坐標(biāo)（2，4）代入計(jì)算可得；
（2）由拋物線的對稱性得BE=OA=t，據(jù)此知AB=10-2t，再由x=t時AD=，根據(jù)矩形的周長公式列出函數(shù)解析式，配方成頂點(diǎn)式即可得；
（3）由t=2得出點(diǎn)A、B、C、D及對角線交點(diǎn)P的坐標(biāo)，由直線GH平分矩形的面積知直線GH必過點(diǎn)P，根據(jù)AB∥CD知線段OD平移后得到的線段是GH，由線段OD的中點(diǎn)Q平移后的對應(yīng)點(diǎn)是P知PQ是△OBD中位線，據(jù)此可得．

（1）設(shè)拋物線解析式為，

當(dāng)時，，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，

將點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式得，

解得：，

拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；

（2）由拋物線的對稱性得，

，

當(dāng)時，，

矩形的周長

，

，

，

，

當(dāng)時，矩形的周長有最大值，最大值為；

（3）如圖，

當(dāng)時，點(diǎn)、、、的坐標(biāo)分別為、、、，

矩形對角線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，

直線平分矩形的面積，

點(diǎn)是和的中點(diǎn)，

，

由平移知，

是的中位線，

，

所以拋物線向右平移的距離是4個單位．