Question

15．在平面直角坐標系中，點P（m，m）（m＞0）是過原點的直線上的動點．以P為端點在OP兩側作射線，其中射線PA交x軸于點B，交y軸于點A（0，m-a），射線PC交x軸于點C （m+a，0），m＞a＞0．是否存在點P，使得以P，B，C為頂點的三角形與△OAC相似？若存在，求此時tan∠OPC的值；若不存在．請說明理由．

Answer 1

分析 作輔助線，構建四邊形和高線OG，先根據A（0，m-a），C （m+a，0），得EA=FC=a，易得Rt△PEA≌Rt△PFC（HL），則∠PCB=∠PAE，PC=PA，∠EPA=∠FPC，再證明：∠BPC=90°，所以∠AOC=∠BPC，又知：PB＞PC，OA＜OC，以P，B，C為頂點的三角形與△OAC相似中存在一種情況：
當△AOC∽△CPB中，∠OAC=∠PCB，證明OB=OC，根據中位線定理的推論得：PG=PC，由此得OP=OC，利用同角的三角函數得出結論．

解答 解：過P作PE⊥y軸于E，PF⊥x軸于F，
∵P（m，m），
∴OF=OE=PE=PF=m，
∵A（0，m-a），C （m+a，0），m＞a＞0，
∴EA=FC=a，
∴Rt△PEA≌Rt△PFC（HL），
∴∠PCB=∠PAE，PC=PA，∠EPA=∠FPC，
∴PB＞PC，
∵∠EPF=90°，
∴∠EPA+∠APF=90°，
∴∠FPC+∠APF=90°，
∴∠BPC=90°，
∵∠AOC=90°，
∴∠AOC=∠BPC，
∵∠PAE=∠BAO，
當△AOC∽△CPB中，∠OAC=∠PCB，
∵∠PCB=∠BAO，
∴∠BAO=∠OAC，
∵AO=OA，∠AOB=∠AOC=90°，
∴△AOB≌△AOC，
∴OB=OC，
過O作OG⊥PC于G，
∴OG∥BP，
∴PG=CG，
∴OG是PC的中垂線，
∴OP=OC，
∴∠OPC=∠OCP，
∴tan∠OPC=tan∠OCP=$\frac{PF}{FC}=\frac{m}{a}$．

點評 本題考查了相似和全等三角形的性質和判定、解直角三角形、坐標與圖形性質，根據點的坐標得出AE與CF相等是關鍵，對于P，B，C為頂點的三角形與△OAC相似時，注意三種情況中只成立一種情況．