Question

【題目】如圖，在ABCD中，∠B=30°，AB=AC，O是兩條對角線的交點，過點O作AC的垂線分別交邊AD，BC于點E，F(xiàn)，點M是邊AB的一個三等分點，則△AOE與△BMF的面積比為 ．

Answer 1

【答案】3：4
【解析】解：設AB=AC=m，則BM= m， ∵O是兩條對角線的交點，
∴OA=OC= AC= m，
∵∠B=30°，AB=AC，
∴∠ACB=∠B=30°，
∵EF⊥AC，
∴cos∠ACB= ，即cos30°= ，
∴FC= m，
∵AE∥FC，
∴∠EAC=∠FCA，
又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=FC= m，
∴OE= AE= m，
∴S△AOE= OAOE= × × m= m2 ，
作AN⊥BC于N，

∵AB=AC，
∴BN=CN= BC，
∵BN= AB= m，
∴BC= m，
∴BF=BC﹣FC= m﹣ m= m，
作MH⊥BC于H，
∵∠B=30°，
∴MH= BM= m，
∴S△BMF= BFMH= × m× m= m2 ，
∴ = = ．
所以答案是3：4．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．