Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．

（1）求的值和圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)在該二次函數(shù)圖象上．

①當(dāng)時，求的值；

②若點(diǎn)到軸的距離小于2，請根據(jù)圖象直接寫出的取值范圍；

③直接寫出點(diǎn)與直線的距離小于時的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）①當(dāng)時，；②；③．

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法，即可求出a的值，把二次函數(shù)解析式，化為頂點(diǎn)式，即可得到頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）①把代入二次函數(shù)解析式，即可；②設(shè)直線x=-2和直線x=2與拋物線的交點(diǎn)為A，B，可得：A(-2，3)，B(2，11)，進(jìn)而即可求解；③設(shè)直線交x軸，y軸于點(diǎn)D，C，過點(diǎn)Q作QM⊥CD于點(diǎn)M，過點(diǎn)Q作QN∥y軸，交CD于點(diǎn)N，可得QNM是等腰直角三角形，當(dāng)QM=時，則QN=2，設(shè)，N(m，m+5)，列出關(guān)于m的方程，求出m的值，進(jìn)而即可得到結(jié)論．

（1）把代入中，得：

，

∴，

∴圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；

（2）①在該二次函數(shù)圖象上，

∴當(dāng)時，；

②設(shè)直線x=-2和直線x=2與拋物線的交點(diǎn)為A，B，如圖，

把x=2或x=-2，代入，得y=11或3，

∴A(-2，3)，B(2，11)，

當(dāng)點(diǎn)到軸的距離小于2時，點(diǎn)Q在A，B之間的拋物線上（不包含A，B），

；

③設(shè)直線交x軸，y軸于點(diǎn)D，C，則D(-5，0)，C(0，5)，

∴OC=OD，∠DCO=45°，

過點(diǎn)Q作QM⊥CD于點(diǎn)M，過點(diǎn)Q作QN∥y軸，交CD于點(diǎn)N，

∴∠QNM=∠DCO=45°，

∴QNM是等腰直角三角形，當(dāng)QM=時，則QN=2，

在該二次函數(shù)圖象上，點(diǎn)N在直線上，

∴設(shè)，N(m，m+5)，

∴，化簡得：或，

解得：，

∴點(diǎn)與直線的距離小于時的取值范圍為：．