Question

如圖，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，P為BC邊的中點(diǎn)，連接PM，PN，則下列結(jié)論：①PM=PN；②；③△PMN為等邊三角形；④當(dāng)∠ABC=45°時，BN=PC．其中正確的個數(shù)是

A．1個         B．2個        C．3個        D．4個

Answer 1

D

試題分析：①∵BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，P為BC邊的中點(diǎn)，
∴PM=BC，PN=BC�！郟M=PN。正確。
②在△ABM與△ACN中，∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，
∴△ABM∽△ACN，∴。正確。
③∵∠A=60°，BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，∴∠ABM=∠ACN=30°。
在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°，
∵點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，BM⊥AC，CN⊥AB，∴PM=PN=PB=PC。
∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM�！唷螧PN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°。
∴∠MPN=60°。∴△PMN是等邊三角形。正確。
④當(dāng)∠ABC=45°時，∵CN⊥AB于點(diǎn)N，∴∠BNC=90°，∠BCN=45°。∴BN=CN。
∵P為BC邊的中點(diǎn)，∴PN⊥BC，△BPN為等腰直角三角形。
∴BN=PB=PC。正確。
綜上所述，正確的結(jié)論個數(shù)是4個。故選D。