Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x軸和y軸的正半軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2m，m），翻折矩形OABC，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，得到折痕DE，設(shè)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，折痕DE所在直線與y軸相交于點(diǎn)G，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，F(xiàn)，D的拋物線為y=ax2+bx+c．

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含m的式子表示）；
（2）若點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，﹣3），求該拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)線段CD的中點(diǎn)為M，在線段CD上方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使PM=EA？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：根據(jù)折疊的性質(zhì)得：CF=AB=m，DF=DB，∠DFC=∠DBA=90°，CE=AE，∠CED=∠AED，

設(shè)CD=x，則DF=DB=2m﹣x，

根據(jù)勾股定理得：CF2+DF2=CD2，

即m2+（2m﹣x）2=x2，

解得：x=m，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（m，m）；

（2）

解：∵四邊形OABC是矩形，

∴OA=2m，OA∥BC，

∴∠CDE=∠AED，

∴∠CDE=∠CED，

∴CE=CD=m，

∴AE=CE=m，

∴OE=OA﹣AE=m，

∵OA∥BC，

∴△OEG∽△CDG，

∴，

即，

解得：m=2，

∴C（0，2），D（，2），

作FH⊥CD于H，如圖1所示：

則∠FHC=90°=∠DFC，

∵∠FCH=∠FCD，

∴△FCH∽△DCF，

∴==，

即，

∴FH=，CH=，+2=，

∴F（，），

把點(diǎn)C（0，2），D（，2），F(xiàn)（，）代入y=ax2+bx+c得：

，

解得：a=，b=，c=2，

∴拋物線的解析式為：y=x2+x+2；

（3）

解：存在；點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，），或（，）；理由如下：

如圖2所示：

∵CD=CE，CE=EA，

∴CD=EA，

∵線段CD的中點(diǎn)為M，∠DFC=90°，

∴MF=CD=EA，點(diǎn)P與點(diǎn)F重合，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，）；

由拋物線的對(duì)稱性得另一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；

∴在線段CD上方的拋物線上存在點(diǎn)P，使PM=EA，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，），或（，）．

【解析】（1）由折疊的性質(zhì)得出CF=AB=m，DF=DB，∠DFC=∠DBA=90°，CE=AE，設(shè)CD=x，則DF=DB=2m﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可得出結(jié)果；
（2）證明△OEG∽△CDG，得出比例式，求出m的值，得出C、D的坐標(biāo)，作FH⊥CD于H，證明△FCH∽△DCF，得出比例式求出F的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（3）由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出MF=CD=EA，點(diǎn)P與點(diǎn)F重合，得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；由拋物線的對(duì)稱性得另一點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．