Question

已知拋物線y＝ax²＋bx＋c經(jīng)過A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三點(diǎn)，直線l是拋物線的對稱軸．

(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

(2)設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在直線l上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：

二次函數(shù)綜合題。

專題：

綜合題；分類討論。

分析：

(1)直接將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中求出待定系數(shù)即可．

(2)由圖知：A、B點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，那么根據(jù)拋物線的對稱性以及兩點(diǎn)之間線段最短可知：若連接BC，那么BC與直線l的交點(diǎn)即為符合條件的P點(diǎn)．

(3)由于△MAC的腰和底沒有明確，因此要分三種情況來討論：①MA＝AC、②MA＝MC、②AC＝MC；可先設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用M點(diǎn)縱坐標(biāo)表示△MAC的三邊長，再按上面的三種情況列式求解．

解答：

解：(1)將A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)代入拋物線y＝ax²＋bx＋c中，得：

，解得：

∴拋物線的解析式：y＝－x²＋2x＋3．

(2)連接BC，直線BC與直線l的交點(diǎn)為P；

設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b，將B(3，0)，C(0，3)代入上式，得：

，解得：

∴直線BC的函數(shù)關(guān)系式y＝－x＋3；

當(dāng)x－1時(shí)，y＝2，即P的坐標(biāo)(1，2)．

(3)拋物線的解析式為：x＝－＝1，設(shè)M(1，m)，已知A(－1，0)、C(0，3)，則：

MA²＝m²＋4，MC²＝m²－6m＋10，AC²＝10；

①若MA＝MC，則MA²＝MC²，得：

m²＋4＝m²－6m＋10，得：m＝1；

②若MA＝AC，則MA²＝AC²，得：

m²＋4＝10，得：m＝±；

③若MC＝AC，則MC²＝AC²，得：

m²－6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6；

當(dāng)m＝6時(shí)，M、A、C三點(diǎn)共線，構(gòu)不成三角形，不合題意，故舍去；

綜上可知，符合條件的M點(diǎn)，且坐標(biāo)為 M(1，)(1，－)(1，1)(1，0)．

點(diǎn)評：

該二次函數(shù)綜合題涉及了拋物線的性質(zhì)及解析式的確定、等腰三角形的判定等知識，在判定等腰三角形時(shí)，一定要根據(jù)不同的腰和底分類進(jìn)行討論，以免漏解．