Question

觀察探究，完成證明和填空．
如圖，四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，順次連接E、F、G、H，得到的四邊形EFGH叫中點(diǎn)四邊形．
（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）如圖，當(dāng)四邊形ABCD變成等腰梯形時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形是菱形，請(qǐng)你探究并填空：

當(dāng)四邊形ABCD變成平行四邊形時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形是

 

；
當(dāng)四邊形ABCD變成矩形時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形是

 

；
當(dāng)四邊形ABCD變成菱形時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形是

 

；
當(dāng)四邊形ABCD變成正方形時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形是

 

；
（3）根據(jù)以上觀察探究，請(qǐng)你總結(jié)中點(diǎn)四邊形的形狀由原四邊形的什么決定的？

Answer 1

分析：（1）連接BD．利用三角形中位線定理推出所得四邊形對(duì)邊平行且相等，故為平行四邊形；
（2）連接AC、BD．根據(jù)三角形的中位線定理，可以得到所得四邊形的兩組對(duì)邊分別和原四邊形的對(duì)角線平行，且分別等于原四邊形的對(duì)角線的一半．
若順次連接對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)，則所得的四邊形的四條邊都相等，故所得四邊形為菱形；
若順次連接對(duì)角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)，則所得的四邊形的四個(gè)角都是直角，故所得四邊形為矩形；
若順次連接對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)，則綜合上述兩種情況，故所得的四邊形為正方形；
（3）由以上法則可知，中點(diǎn)四邊形的形狀是由原四邊形的對(duì)角線的關(guān)系決定的．

解答：（1）證明：連接BD．
∵E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，
∴EH是△ABD的中位線．
∴EH=

1

2

BD，EH∥BD．
同理得FG=

1

2

BD，F(xiàn)G∥BD．
∴EH=FG，EH∥FG．
∴四邊形EFGH是平行四邊形．

（2）填空依次為平行四邊形，菱形，矩形，正方形；
（3）中點(diǎn)四邊形的形狀是由原四邊形的對(duì)角線的關(guān)系決定的．
故答案為平行四邊形、菱形、矩形、正方形．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了三角形的中位線定理和特殊四邊形的判定定理．
熟記結(jié)論：順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是平行四邊形；
順次連接對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是菱形；
順次連接對(duì)角線垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是矩形；
順次連接對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是正方形．