Question

【題目】如圖所示拋物線過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，且

（1）求拋物線的解析式及其對(duì)稱(chēng)軸；

（2）點(diǎn)在直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)在點(diǎn)的上方，求四邊形的周長(zhǎng)的最小值；

（3）點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，連接，直線把四邊形的面積分為3∶5兩部分，求點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1），對(duì)稱(chēng)軸為直線；（2）四邊形的周長(zhǎng)最小值為；（3）

【解析】

（1）OB=OC，則點(diǎn)B（3，0），則拋物線的表達(dá)式為：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，即可求解；

（2）CD+AE=A′D+DC′，則當(dāng)A′、D、C′三點(diǎn)共線時(shí)，CD+AE=A′D+DC′最小，周長(zhǎng)也最小，即可求解；

（3）S△PCB：S△PCA=EB×（yC-yP）：AE×（yC-yP）=BE：AE，即可求解．

（1）∵OB=OC，∴點(diǎn)B（3，0），

則拋物線的表達(dá)式為：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，

故-3a=3，解得：a=-1，

故拋物線的表達(dá)式為：y=-x2+2x+3…①；

對(duì)稱(chēng)軸為：直線

（2）ACDE的周長(zhǎng)=AC+DE+CD+AE，其中AC=、DE=1是常數(shù)，

故CD+AE最小時(shí)，周長(zhǎng)最小，

取點(diǎn)C關(guān)于函數(shù)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C（2，3），則CD=C′D，

取點(diǎn)A′（-1，1），則A′D=AE，

故：CD+AE=A′D+DC′，則當(dāng)A′、D、C′三點(diǎn)共線時(shí)，CD+AE=A′D+DC′最小，周長(zhǎng)也最小，

四邊形ACDE的周長(zhǎng)的最小值=AC+DE+CD+AE=+1+A′D+DC′=+1+A′C′=+1+；

（3）如圖，設(shè)直線CP交x軸于點(diǎn)E，

直線CP把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分，

又∵S△PCB：S△PCA=EB×（yC-yP）：AE×（yC-yP）=BE：AE，

則BE：AE，=3：5或5：3，

則AE=或，

即：點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，0）或（，0），

將點(diǎn)E、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y=kx+3，

解得：k=-6或-2，

故直線CP的表達(dá)式為：y=-2x+3或y=-6x+3…②

聯(lián)立①②并解得：x=4或8（不合題意值已舍去），

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，-5）或（8，-45）．