如圖，點(diǎn)A為y軸正半軸上一點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，過點(diǎn)A任作直線交拋物線y=
2
3
x2于P，Q兩點(diǎn)．
（1）求證：∠ABP=∠ABQ；
（2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），且∠PBQ=60°，試求所有滿足條件的直線PQ的函數(shù)解析式．
（1）證明：如圖，分別過點(diǎn)P，Q作y軸的垂線，垂足分別為C，D．
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，t），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-t）．
設(shè)直線PQ的函數(shù)解析式為y=kx+t，并設(shè)P，Q的坐標(biāo)分別為（xP，yP），（xQ，yQ）．由
y=kx+t
y=
2
3
x2
，
得
2
3
x2-kx-t=0，
于是xPxQ=-
3
2
t，即t=-
2
3
xPxQ．
于是
BC
BD
=
yP+t
yQ+t
=
2
3
xP2+t
2
3
xQ2+t
=
2
3
xP2-
2
3
xPxQ
2
3
xQ2-
2
3
xPxQ
=
2
3
xP(xP-xQ)
2
3
xQ(xQ-xP)
=-
xP
xQ
．，
又因?yàn)?span mathtag="math" >
PC
QD
=-
xP
xQ
，所以
BC
BD
=
PC
QD
．
因?yàn)椤螧CP=∠BDQ=90°，
所以△BCP∽△BDQ，
故∠ABP=∠ABQ；

（2）設(shè)PC=a，DQ=b，不妨設(shè)a≥b＞0，由（1）可知
∠ABP=∠ABQ=30°，BC=
3
a，BD=
3
b，
所以AC=
3
a-2，AD=2-
3
b．
因?yàn)镻C∥DQ，所以△ACP∽△ADQ．
于是
PC
DQ
=
AC
AD
，即
a
b
=
3
a-2
2-
3
b
，
所以a+b=
3
ab．
由（1）中xPxQ=-
3
2
t，即-ab=-
3
2
，所以ab=
3
2
，a+b=
3
3
2
，
于是可求得a=2b=
3
．
將b=
3
2
代入y=
2
3
x2，得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)（
3
2
，
1
2
）．
再將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入y=kx+1，求得k=-
3
3
．
所以直線PQ的函數(shù)解析式為y=-
3
3
x+1．
根據(jù)對(duì)稱性知，所求直線PQ的函數(shù)解析式為y=-
3
3
x+1或y=
3
3
x+1．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，點(diǎn)M（4，0），以點(diǎn)M為圓心、2為半徑的圓與x軸交于點(diǎn)A、B．已知拋物線y=
1
6
x2+bx+c過點(diǎn)A和B，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并畫出拋物線的大致圖象；
（2）點(diǎn)Q（8，m）在拋物線y=
1
6
x2+bx+c上，點(diǎn)P為此拋物線對(duì)稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PQ+PB的最小值；
（3）CE是過點(diǎn)C的⊙M的切線，點(diǎn)E是切點(diǎn)，求OE所在直線的解析式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸相交于A，B，點(diǎn)A在原點(diǎn)左邊，點(diǎn)B在原點(diǎn)右邊，點(diǎn)P（1，m）（m＞0）在拋物線上，AB=2，tan∠PAB=
2
5
，
（1）求m的值；
（2）求二次函數(shù)解析式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在北京奧運(yùn)晉級(jí)賽中，中國(guó)男籃與美國(guó)“夢(mèng)八”隊(duì)之間的對(duì)決吸引了全球近20億觀眾觀看，如圖，“夢(mèng)八”隊(duì)員甲正在投籃，已知球出手時(shí)（點(diǎn)A處）離地面高
20
9
米，與籃圈中心的水平距離為7米，當(dāng)球出手后水平距離為4米時(shí)到達(dá)最大高度4米，設(shè)籃球運(yùn)行路線為拋物線，籃圈距地面3米．
（1）建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系，問此球能否投中？
（2）此時(shí)，若中國(guó)隊(duì)員姚明在甲前1米處跳起蓋帽攔截，已知姚明的最大摸高為3.1米，那么他能否獲得成功？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖：拋物線y=ax2-4ax+m與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的對(duì)稱軸和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)C作CP⊥對(duì)稱軸于點(diǎn)P，連接BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)D，連接AC、BP，且∠BPD=∠BCP，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為G，連接BG、CG、求△BCG的面積．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，AB、CD都垂直于x軸，垂足為B、D，且AD與BC相交于E點(diǎn)．已知：A（-2，-6），C（1，-3）
（1）求證：E點(diǎn)在y軸上；
（2）如果AB的位置不變，而DC水平向右移動(dòng)K（K＞0）個(gè)單位，此時(shí)AD與BC相交于E′點(diǎn)，如圖②，求△AE′C的面積S關(guān)于K的函數(shù)解析式；
（3）過A、E、E′三點(diǎn)的拋物線中，是否存在一條拋物線，它的頂點(diǎn)在x軸上？若存在，請(qǐng)求出k的值；若不存在，說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=x2+2（a-1）x+a2-2a（a＜0），
（1）若點(diǎn)P（-1，8）在此拋物線上．
①求a的值；
②設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為A，與y軸的交點(diǎn)為B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∠ABO=α，求sinα的值；
（2）設(shè)此拋物線與x軸交于點(diǎn)C（x1，0）、D（x2，0），x1，x2滿足a（x1+x2）+2x1x2＜3，且拋物線的對(duì)稱軸在直線x=2的右側(cè)，求a的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，等腰梯形的周長(zhǎng)為60，底角為30°，腰長(zhǎng)為x，面積為y，試寫出y與x的函數(shù)表達(dá)式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，一個(gè)運(yùn)動(dòng)員推鉛球，鉛球在點(diǎn)A處出手，出手時(shí)球離地面約
5
3
m．鉛球落地點(diǎn)在B處，鉛球運(yùn)行中在運(yùn)動(dòng)員前4m處（即OC=4）達(dá)到最高點(diǎn)，最高點(diǎn)高為3m．已知鉛球經(jīng)過的路線是拋物線，根據(jù)如圖所示的直角坐標(biāo)系，你能算出該運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)嗎？

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