Question

如圖，已知線段AB，P是線段AB上任意一點（不與點A、B重合），分別以AP、BP為邊，在AB的同側作等邊△APD和△BPC，連接BD與PC交于點E，連接CD．

（1）當BC⊥CD時，試求∠DBC的正切值；
（2）若線段CD是線段DE和DB的比例中項，試求這時的值；
（3）記四邊形ABCD的面積為S，當P在線段AB上運動時，S與BD²是否成正比例，若成正比例，試求出比例系數(shù)；若不成正比例，試說明理由．

Answer 1

解：（1）∵等邊△APD和△BPC，
∴PC=BC，∠CPD=60°，∠DPA=∠CBP=60°，
∴PD∥BC，
∴∠DPC=∠PCB=60°，
∵BC⊥CD，
∴∠DCB=∠PDC=90°，
∴∠DCP=30°，
∴tan∠DBC===cos30°=；

（2）由已知，CD²=DE•DB，
即，
又∵∠CDE=∠CDE，
∴△DCE∽△DBC，
∴，
又∵CP=BC，，
∵PD∥BC，
∴，
∴，
∴CD=BE，
∴，即點E是線段BD的黃金分割點．
∴，
又∵PC∥AD，
∴，

（3）設AP=a，PB=b，
∴，，
因為AD∥PC，PD∥BC，
∴，，
∴，
∴，
∴，
作DH⊥AB，
則，，
∴BD²=DH²+BH²=（a）²+（a+b）²=a²+ab+b²，
∴，
∴S與BD²成正比例，比例系數(shù)為．
分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質得出PC=BC，∠CPD=60°，PD∥BC，進而得出∠DBC的正切值等于=，即可得出答案；
（2）利用線段CD是線段DE和DB的比例中項得出△DCE∽△DBC，再利用相似三角形的性質得出即可；
（3）由AD∥PC，PD∥BC，得出，，進而得出，以及，即可得出比例系數(shù)．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質，熟練利用相似三角形的性質得出對應邊之間關系是解題關鍵．