Question

11．如圖，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A開始，沿AB邊向點(diǎn)B以每秒1cm的速度移動；點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始，沿著BC邊向點(diǎn)C以每秒2cm的速度移動．如果P，Q同時(shí)出發(fā)．
（1）經(jīng)過幾秒，P、Q的距離最短．
（2）經(jīng)過幾秒，△PBQ的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

分析 （1）設(shè)運(yùn)動時(shí)間為x秒，則AP=x，BQ=2x，根據(jù)勾股定理可得PQ=$\sqrt{P{B}^{2}+B{Q}^{2}}$=$\sqrt{（6-x）^{2}+4{x}^{2}}$=$\sqrt{5（x-\frac{6}{5}）^{2}+\frac{144}{5}}$，即可得答案；
（2）根據(jù)S_△PBQ=$\frac{1}{2}$×PB×BQ=$\frac{1}{2}$（6-x）•2x=-x²+6x=-（x-3）²+9可得答案．

解答 解：（1）設(shè)運(yùn)動時(shí)間為x秒，
則AP=x，BQ=2x，
∵AB=6，
∴PB=6-x，
則PQ=$\sqrt{P{B}^{2}+B{Q}^{2}}$=$\sqrt{（6-x）^{2}+4{x}^{2}}$=$\sqrt{5（x-\frac{6}{5}）^{2}+\frac{144}{5}}$，
∴當(dāng)x=$\frac{6}{5}$時(shí)，PQ最短，
答：經(jīng)過1.2秒，P、Q的距離最短；

（2）∵S_△PBQ=$\frac{1}{2}$×PB×BQ
=$\frac{1}{2}$（6-x）•2x
=-x²+6x
=-（x-3）²+9，
∴當(dāng)x=3時(shí)，S_△PBQ取得最大值9，
答：經(jīng)過3秒，△PBQ的面積最大，最大面積是9cm²．

點(diǎn)評 本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用能力，熟練掌握勾股定理和三角形的面積公式列出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．