Question

如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（2，0），直線y=x+2與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在y軸上，P為線段AB上一動點(diǎn)（除A，B兩端點(diǎn)外），過P作x軸的垂線與二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)Q設(shè)線段PQ的長為l，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）求l與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出l的取值范圍；
（3）線段AB上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形PQMA為梯形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)直線的解析式求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)M點(diǎn)的坐標(biāo)，用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式來設(shè)拋物線的解析式，將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出二次函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)直線y=x+2的解析式求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)A、B的坐標(biāo)求出拋物線的解析式，由PQ⊥x軸得P、Q的橫坐標(biāo)為x，最后用縱坐標(biāo)的差表示出來就可．根據(jù)A、B兩點(diǎn)的總坐標(biāo)就可以求出取值范圍；
（3）過點(diǎn)M作MQ∥AB交拋物線于點(diǎn)Q，連接AM，作PQ∥y軸于點(diǎn)P，過M作MD∥PQ，MD交AB于N，得出四邊形PQMD為平行四邊形，可以求出MD的長度，從而求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；

解答：解：（1）依題意，設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-2）²，
由于直線y=x+2與y軸交于（0，2），
∴x=0，y=2
滿足y=a（x-2）²，于是求得a=

1

2

，
二次函數(shù)的解析式為y=

1

2

（x-2）²；

（2）∵PQ⊥x軸且橫坐標(biāo)為x，
∴l(xiāng)=（x+2）-

1

2

（x-2）²=-

1

2

x²+3x，
由

y=x+2 y= 1 2 (x-2)2

得點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（6，8），
∵點(diǎn)p在線段AB上運(yùn)動，
∴0＜x＜6．
∵l=-

1

2

x2+3x=-

1

2

(x-3)2+

9

2

，
∴當(dāng)x=3時，l最大=

9

2

．
∴0＜l＜

9

2

；

（3）作MQ∥AP．過M作MD∥PQ，MD交AB于N，
則四邊形PQMD為平行四邊形．
∴MD=PQ，∵M(jìn)（2，0），∴D（2，4），∴MD=4．
∴PQ=-

1

2

x2+3x=MD=4．
∴x²-6x+8=0，∴x₁=2，x₂=4．
∵2＜x＜6，∴x=4．
∴P（4，6），Q（4，2）．
即P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（4，6）

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)、梯形的判定等知識及綜合應(yīng)用知識、解決問題的能力．