Question

如圖，已知點P是邊長為4的正方形ABCD內一點，且PB=3，BF⊥BP，垂足是B．請在射線BF上找一點M，使以點B、M、C為頂點的三角形與△ABP相似．（請注意：全等圖形是相似圖形的特例）

Answer 1

分析：此題有兩種情況，（1）當△CBM≌△ABP時，全等圖形是相似圖形的特例，此時BP和BM為一組對應邊且相等，BM=BP=3；（2）當△MBC∽△ABP時，有MB：AB=BC：BP，從而求出BM的值．

解答：解：在射線BF上截取線段BM1=

16

3

，連接M₁C，

AB=BC=4 BP=3 BM1= 16 3

?

BM1

AB

=

16 3

4

=

4

3

=

BC

BP

，

BF⊥BP AB⊥BC

?∠ABP=∠CBM₁，
∴△M₁BC∽△ABP．
在射線BF上截取線段BM₂=BP=3，連接M₂C，

AB=BC=4 ∠ABP=∠CBM2 BP=BM2=3

?△CBM₂≌△ABP．（全等必相似）
∴在射線BF上取BM1=

16

3

或BM₂=3時，M₁，M₂都為符合條件的M．
（說明：其他解法請參照給分）

點評：此題主要是考查三角形相似的判定，屬中等難度．