Question

已知：二次函數(shù)y=x²-kx+k+4的圖象與y軸交于點C，且與x軸的正半軸交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)）．若A、B兩點的橫坐標(biāo)為整數(shù)，
（1）確定這個二次函數(shù)的解析式并求它的頂點坐標(biāo)；
（2）若點D的坐標(biāo)是（0，6），點P（t，0）是線段AB上的一個動點，它可與點A重合，但不與點B重合．設(shè)四邊形PBCD的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若點P與點A重合，得到四邊形ABCD，以四邊形ABCD的一邊為邊，畫一個三角形，使它的面積等于四邊形ABCD的面積，并注明三角形高線的長．再利用“等底等高的三角形面積相等”的知識，畫一個三角形，使它的面積等于四邊形ABCD的面積（畫示意圖，不寫計算和證明過程）．

Answer 1

分析：（1）令y=0，不難得出方程的△＞0；關(guān)鍵是方程的整數(shù)根，整除和奇偶性問題．根據(jù)（k-2+m）（k-2-m）=20得出k-2+m是k-2-m是同奇、同偶的兩數(shù)是解題的關(guān)鍵．
（由于k-2+m+k-2-m=2k-4，因此兩數(shù)的和為偶數(shù)，而偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)，因此兩數(shù)必須為同奇同偶）
（本題也可用韋達(dá)定理來求）
（2）由于四邊形PBCD不一定是規(guī)則的四邊形，因此可用三角形OBC的面積-三角形ODP的面積來求．
（3）本題答案不唯一，只要正確都行．

解答：解：（1）依題意可設(shè)A（a，0），B（b，0）；
令y=0，則a、b是x²-kx+k+4=0的兩根．
于是△=（-k）²-4（k+4）=k²-4k-16=（k-2）²-20＞0，且a+b=k；
∵a、b是不等的正整數(shù)，
∴k為正整數(shù)，且（k-2）²-20是一個整數(shù)的平方．
設(shè)（k-2）²-m²=20，
即（k-2+m）（k-2-m）=20，
注意到k-2+m是k-2-m是同奇、同偶的兩數(shù)，且20是偶數(shù)．
∴

k-2+m=10 k-2-m=2

；

k-2+m=-2 k-2-m=-10

，

k-2+m=2 k-2-m=10

；

k-2+m=-10 k-2-m=-2

，
解得：

k=8 m=4

；

k=-4 m=4

；

k=8 m=-4

；

k=-4 m=-4

，
∴k=8，
∴這個二次函數(shù)的解析式為y=x²-8x+12，其頂點坐標(biāo)為（4，-4）．

（2）∵y=x²-8x+12，
∴此二次函數(shù)的圖形與y軸的交點C的坐標(biāo)為（0，12），與y軸的交點A（2，0），B（6，0）．
又S_{四邊形PBCD}=S_△COB-S_△DOP，
∴S=

1

2

×12×6-

1

2

×6t，
∴S=36-3t（2≤t＜6）；

（3）∵AB=4，又S=30，
∴可設(shè)所畫三角形為△MAB，AB邊上的高為h．
∴S_△MAB=

1

2

×4×h，
∴h=15．

點評：本題結(jié)合四邊形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，有關(guān)函數(shù)和幾何圖形的綜合題目，要利用幾何圖形的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)把數(shù)與形有機(jī)的結(jié)合在一起，利用題中所給出的面積和周長之間的數(shù)量關(guān)系求解．