Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=∠ADC，DE垂直于對角線AC，垂足是E，連接BE．
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）若AB=BE=2，sin∠ACD= ，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠DCB=180°，

∵∠ABC=∠ADC，

∴∠ADC+∠BCD=180°，

∴AD∥BC，

∵AB∥CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形

（2）解：∵sin∠ACD= ，

∴∠ACD=60°，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，CD=AB=2，

∴∠BAC=∠ACD=60°，

∵AB=BE=2，

∴△ABE是等邊三角形，

∴AE=AB=2，

∵DE⊥AC，

∴∠CDE=90°﹣60°=30°，

∴CE= CD=1，

∴DE= CE= ，AC=AE+CE=3，

∴平行四邊形ABCD的面積=2△ACD的面積=ACDE=3

【解析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出∠ABC+∠DCB=180°，推出∠ADC+∠BCD=180°，根據(jù)平行線的判定得出AD∥BC，根據(jù)平行四邊形的判定推出即可；（2）證明△ABE是等邊三角形，得出AE=AB=2，由直角三角形的性質(zhì)求出CE和DE，得出AC的長，即可求出四邊形ABCD的面積．
【考點精析】利用平行四邊形的判定與性質(zhì)和解直角三角形對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積；解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)．