Question

【題目】中，，為高線，點(diǎn)在邊上，且，連接，，與邊相交于點(diǎn)．

（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，求證：

（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，則線段、的數(shù)量關(guān)系為 ；

（3）如圖3，在（2）的條件下，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后邊所在的直線與邊相交于點(diǎn)，邊所在的直線與邊相交于點(diǎn)，與高線相交于點(diǎn)，若，且，求線段H的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)時(shí)，；（3）2

【解析】

（1）根據(jù)tan∠BAC=1=tan45°，得出△ABC為等腰直角三角形，再過(guò)E點(diǎn)作EK⊥BC，EK與CD相交于點(diǎn)K，得出∠GKE=45°=∠B，再根據(jù)∠GEK+∠KEF=90°=∠KEF+∠BEF，得出△GEK∽△FEB，從而證出，即可得出EF=2EG；

（2）根據(jù)（1）的證明過(guò)程，同理可證出當(dāng)tan∠BAC=2時(shí)，得出EF=EG；

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，先設(shè)AC=3k，得出BC＝6k，EC＝EC＝2k，再過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BC，EM與CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M，得出△AGC∽△EGM，得出，再過(guò)點(diǎn)G作GN∥EH，與AH相交于點(diǎn)N，得出△ANG∽△AHE，得出NH的值，同理得出△GEM∽△FEB，得出EF=EG．同理可證EF′=EG′，∠FEF'=∠GEG'，得出△GEG'≌△FEF'，即可證出的值，再根據(jù)HG′∥NG，同理可證，得出EC=CH，得出△HCE是等腰直角三角形，在△HG'C中，求出CW的值，從而得出G′H的值．

（1）證明：在中， ，

，

，

．

為等腰直角三角形，

，

，

過(guò)點(diǎn)作，與相交于點(diǎn)，

，

，

，

，

，

；

（2）根據(jù)（1）的證明，同理可證：

當(dāng)時(shí)，；

（3）在中， ，，

則，

設(shè)，則BC＝6k，則，

過(guò)點(diǎn)作，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)， ，

．

在與中，

，

,，

，

過(guò)點(diǎn)作，與相交于點(diǎn)，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

同理可證, ，

，

，

．

，同理可證，

，

，

，

，

是等腰直角三角形，，

在中，過(guò)點(diǎn)作，垂足是，

設(shè)，則HW＝x，則，

，，

，

，

．