Question

【題目】（1）閱讀理解:利用旋轉(zhuǎn)變換解決數(shù)學(xué)問題是一種常用的方法。如圖，點是等邊三角形內(nèi)一點，，求的度數(shù)。為利用已知條件，不妨把繞點順時針旋轉(zhuǎn)60°得，連接，則的長為_______；在中，易證，且的度數(shù)為_____，綜上可得的度數(shù)為__ ；

（2）類比遷移:如圖，點是等腰內(nèi)的一點，。求的度數(shù)；

（3）拓展應(yīng)用:如圖，在四邊形中，，請直接寫出的長。

Answer 1

【答案】（1）2， 30°， 90° ；（2）90°；（3）2．

【解析】

（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等邊三角形的判定可知△CP′P是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)知∠CP′P=60°，根據(jù)勾股定理逆定理可得△AP′P是直角三角形，繼而可得答案．
（2）如圖2，把△BPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得△AP'C，連接PP′，同理可得△CP′P是等腰直角三角形和△AP′P是直角三角形，所以∠APC=90°；
（3）如圖3，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ACG，連接DG．則BD=CG，根據(jù)勾股定理求CG的長，就可以得BD的長．

解：（1）把△BPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得△AP'C，連接PP′（如圖1）．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知△CP′P是等邊三角形；
∴P′A=PB=、∠CP′P=60°、P′P=PC=2，
在△AP′P中，∵AP2+P′A2=12+（）2=4=PP′2；
∴△AP′P是直角三角形；
∴∠P′AP=90°．
∵PA=PC，
∴∠AP′P=30°；
∴∠BPC=∠CP′A=∠CP′P+∠AP′P=60°+30°=90°．
故答案為：2；30°；90°；
（2）如圖2，把△BPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得△AP'C，連接PP′．

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知△CP′P是等腰直角三角形；
∴P′C=PC=1，∠CPP′=45°、P′P=，PB=AP'=，
在△AP′P中，∵AP'2+P′P2=（）2+（）2=2=AP2；
∴△AP′P是直角三角形；
∴∠AP′P=90°．
∴∠APP'=45°
∴∠APC=∠APP'+∠CPP'=45°+45°=90°
（3）如圖3，

∵AB=AC，
將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ACG，連接DG．則BD=CG，
∵∠BAD=∠CAG，
∴∠BAC=∠DAG，
∵AB=AC，AD=AG，
∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD，
∴△ABC∽△ADG，
∵AD=2AB，
∴DG=2BC=10，
過A作AE⊥BC于E，
∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC，
∴∠ADG+∠ADC=90°，
∴∠GDC=90°，
∴CG===2，
∴BD=CG=2．