Question

【題目】如圖：

（1）P是等腰三角形ABC底邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作BC的垂線，交AB于點(diǎn)Q，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R．請(qǐng)觀察AR與AQ，它們有何關(guān)系？并證明你的猜想．

（2）如果點(diǎn)P沿著底邊BC所在的直線，按由C向B的方向運(yùn)動(dòng)到CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中所得的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)你在圖（2）中完成圖形，并給予證明．

Answer 1

【答案】（1）AR=AQ；見解析；（2）見解析

【解析】

試題分析：（1）由已知條件，根據(jù)等腰三角形兩底角相等及三角形兩直角互余的性質(zhì)不難推出∠PRC與∠AQR的關(guān)系；

（2）由已知條件，根據(jù)等腰三角形兩底角相等及三角形兩直角互余的性質(zhì)不難推出∠BQP與∠PRC的關(guān)系．

解：（1）AR=AQ，理由如下：

∵AB=AC，

∴∠B=∠C．

∵RP⊥BC，

∴∠B+∠BQP=∠C+∠PRC=90°，

∴∠BQP=∠PRC．

∵∠BQP=∠AQR，

∴∠PRC=∠AQR，

∴AR=AQ；

（2）猜想仍然成立．證明如下：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C．

∵∠ABC=∠PBQ，

∴∠PBQ=∠C，

∵RP⊥BC，

∴∠PBQ+∠BQP=∠C+∠PRC=90°，

∴∠BQP=∠PRC，

∴AR=AQ．