Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx﹣3a經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）、C（0，3），與x軸交于另一點(diǎn)B，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D．

（1）求此二次函數(shù)解析式；

（2）連接DC、BC、DB，求證：△BCD是直角三角形；

（3）在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使得△PDC為等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

       解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx﹣3a經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）、C（0，3），

∴根據(jù)題意，得，

解得，

∴拋物線(xiàn)的解析式為y=﹣x²+2x+3．

（2）由y=﹣x²+2x+3得，D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），

∴CD==，

BC==3，

BD==2，

∵CD²+BC²=（）²+（3）²=20，BD²=（2）²=20，

∴CD²+BC²=BD²，

∴△BCD是直角三角形；

（3）存在．CD²+BC²=（）²+（3）²=20，BD²=（2）²=

y=﹣x²+2x+3對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1．

①若以CD為底邊，則PD=PC，

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，

得x²+（3﹣y）²=（x﹣1）²+（4﹣y）²，

即y=4﹣x．

又P點(diǎn)（x，y）在拋物線(xiàn)上，

∴4﹣x=﹣x²+2x+3，

即x²﹣3x+1=0，

解得x₁=，x₂=＜1，應(yīng)舍去，

∴x=，

∴y=4﹣x=，

即點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）．

②若以CD為一腰，

∵點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線(xiàn)上，由拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性知，點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)，

此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，3）．

∴符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）或（2，3）．