【題目】如圖1，設(shè)是一個銳角三角形，且，為其外接圓，分別為其外心和垂心，為圓直徑，為線段上一動點(diǎn)且滿足．

（1）證明：為中點(diǎn)；

（2）過作的平行線交于點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，證明： ；

（3）直線與圓的另一交點(diǎn)為（如圖2），以為直徑的圓與圓的另一交點(diǎn)為．證明：若三線共點(diǎn)，則；反之也成立．

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）連接AD，BD，得，結(jié)合H為垂心，，得出四邊形為平行四邊形，得到，結(jié)合平行，O為CD中點(diǎn)，可得M為BC中點(diǎn)；

（2）過作，由， 為平行四邊形，證明H為的垂心，從而得到；

（3）設(shè)與交點(diǎn)為，得到，證明H是的垂心，證明三線共點(diǎn)得三點(diǎn)共線，得到．

解：（1）連接，則，

又為垂心

∴，

∴

∴四邊形為平行四邊形

∴，又為中點(diǎn)

∴為中點(diǎn)

（2）過作

連接，由（1）可知四邊形為平行四邊形，四邊形為平行四邊形

∵

∴

∴為垂心

∴

∴

（3）設(shè)與交點(diǎn)為

由（1）可知四邊形為平行四邊形

∴為直徑中點(diǎn)

而圓與圓相交弦為

∴

∴

設(shè)

則為垂心

∴

三線共點(diǎn)三點(diǎn)共線

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知反比例函數(shù)（k≠0）的圖像與一次函數(shù)y=-x+b的圖像在第一象限交于A、B兩點(diǎn)，BC⊥x軸于點(diǎn)C，若△OBC的面積為2，且A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1．

（1）求反比例函數(shù)、一次函數(shù)的表達(dá)式及直線AB與x軸交點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）已知點(diǎn)D（t，0）（t＞0），過點(diǎn)D作垂直于x軸的直線，在第一象限內(nèi)與一次函數(shù)y=-x+b的圖像相交于點(diǎn)P，與反比函數(shù)上的圖像相交于點(diǎn)Q，若點(diǎn)P位于點(diǎn)Q的上方，請結(jié)合函數(shù)圖像直接寫出此時t的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖1是一款“雷達(dá)式”懶人椅．當(dāng)懶人椅完全展開時，其側(cè)面示意圖如圖2所示，金屬桿AB、CD在點(diǎn)O處連接，且分別與金屬桿EF在點(diǎn)B，D處連接．金屬桿CD的OD部分可以伸縮（即OD的長度可變）．已知OA＝50cm，OB＝20cm，OC＝30cm．DE＝BF＝5cm．當(dāng)把懶人椅完全疊合時，金屬桿AB，CD，EF重合在一條直線上（如圖3所示），此時點(diǎn)E和點(diǎn)A重合．

（1）如圖2，已知∠BOD＝6∠ODB，∠OBF＝140°．

①求∠AOC的度數(shù)．

②求點(diǎn)A，C之間的距離．

（2）如圖3，當(dāng)懶人椅完全疊合時，求CF與CD的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了解某市中學(xué)生參加“科普知識”競賽成績的情況，隨機(jī)抽查了部分參賽學(xué)生的成績，作出如圖所示的統(tǒng)計圖和統(tǒng)計表．請根據(jù)圖表信息，解答下列問題：

（1）在表中：m=　　，n=　　　；在圖中補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

（2）小明的成績是所有被抽查學(xué)生成績的中位數(shù)，據(jù)此推斷他的成績在　　　組；

（3）4個小組每組推薦1人，然后從4人中隨機(jī)抽取2人參加頒獎典禮，恰好抽中A、C兩組學(xué)生的概率是多少?請用列表法或畫樹狀圖法說明．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若均為自然數(shù)，則關(guān)于的方程的解共有（ ）個（表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)）

A.1B.2C.3D.4

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，直線L過AB中點(diǎn)O，過點(diǎn)A、C分別向直線L作垂線，垂足分別為E、F．若CF=1，則EF=__．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖1，拋物線y= －x2+bx+c與x軸負(fù)半軸交于A點(diǎn)，與x軸正半軸交于B點(diǎn)，與y軸正半軸交于C點(diǎn)，CO＝BO，AB=14．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2, 點(diǎn)M、N在第一象限內(nèi)拋物線上，M在N點(diǎn)下方，連CM、CN，∠OCN+∠OCM＝180°， 設(shè)M點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，N點(diǎn)橫坐標(biāo)為n，求m與n的函數(shù)關(guān)系式(n是自變量)；

（3）如圖3, 在(2)條件下，連AN交CO于E，過M作MF⊥AB于F，連BM、EF，若∠AFE＝2∠FMB=2β， 求N點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某課外學(xué)習(xí)小組根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究請補(bǔ)充完整以下探索過程：

（1）列表：

x

…

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

…

y

…

m

0

-3

-4

-3

0

-3

-4

n

0

…

直接寫出________，________；

（2）根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)補(bǔ)全該函數(shù)的圖象，并結(jié)合圖象寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)：

性質(zhì)1______________________________________________________

性質(zhì)2_______________________________________________________

（3）若方程有四個不同的實數(shù)根，請根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出k的取值范圍.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c（a＜0）與x軸交于A（﹣2，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OC=2OA．

（1）試求拋物線的解析式；

（2）直線y=kx+1（k＞0）與y軸交于點(diǎn)D，與拋物線交于點(diǎn)P，與直線BC交于點(diǎn)M，記m=，試求m的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)Q是x軸上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)N是坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)Q、N，使得以P、D、Q、N四點(diǎn)組成的四邊形是矩形？如果存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

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