Question

如圖，已知拋物線E₁：y=x²經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，m），以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線E₂經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（2，2），點(diǎn)A、B關(guān)于y 軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)A′，B′．

（1）求m的值；

（2）求拋物線E₂所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）在第一象限內(nèi)，拋物線E₁上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)Q、B、B′為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【分析】（1）將A（1，m）代入y=x²，求得m的值即可；

（2）設(shè)拋物線E₂的函數(shù)表達(dá)式為y=ax²（a≠0），將點(diǎn)B（2，2）代入拋物線的解析式求得a的值即可；

（3）當(dāng)∠BB′Q=90°時(shí)，將x=2代入y=x²，可求得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)，當(dāng)∠BQB′=90°時(shí)，設(shè)點(diǎn)Q₂的坐標(biāo)為（t，t²），依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式和勾股定理的逆定理列出關(guān)于t的方程求解即可．

【解答】解：（1）∵拋物線E₁經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，m）

∴m=1²=1

（2）∵拋物線E₂的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，可設(shè)它對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=ax²（a≠0）

又∵點(diǎn)B（2，2）在拋物線E₂上

∴2=a×2²，解得：a=

∴拋物線E₂所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式為y=x²

（3）如圖所示：

①當(dāng)點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)B作Q₁B⊥BB′交拋物線E₁于Q，則點(diǎn)Q₁與B的橫坐標(biāo)相等且為2，將x=2代入y=x²得y=4，

∴點(diǎn)Q₁的坐標(biāo)為（2，4）．

②當(dāng)點(diǎn)Q₂為直角頂點(diǎn)時(shí)，則有Q₂B′²+Q₂B²=B′B²，過(guò)點(diǎn)Q₂作GQ₂⊥BB′于G，設(shè)點(diǎn)Q₂的坐標(biāo)為（t，t²）（t＞0），則有（t+2）²+（t²﹣2）²+（2﹣t）²+（t²﹣2）²=4，

整理得：t⁴﹣3t²=0，

∵t＞0，

∴t²﹣3=0，解得t₁=，t₂=﹣（舍去），

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，3），

綜上所述，存在符合條件的點(diǎn)Q坐標(biāo)為（2，4）與（，3）．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式的關(guān)系、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、勾股定理的逆定理的應(yīng)用、兩點(diǎn)間的距離公式，依據(jù)勾股定理的逆定理和兩點(diǎn)間的距離公式列出關(guān)于t的方程是解題的關(guān)鍵．