Question

如圖，在梯形ABCD中，AB‖CD，∠A=，AB=3，CD=6，BE⊥BC交直線AD于點(diǎn)E.

（1）當(dāng)點(diǎn)E與D恰好重合時(shí)，求AD的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在邊AD上時(shí)（E不與A、D重合），設(shè)AD=x，ED=y，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；
（3）問：是否可能使△ABE、△CDE與△BCE都相似？若能，請(qǐng)求出此時(shí)AD的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1）3
（2），
（3）

解：（1）當(dāng)點(diǎn)E與D重合時(shí)，由∠ABD=∠BDC，∠DBC=∠A，
得△ABD∽△BDC，則，---------------------（2分）
∴，-----------------------------------------（1分）
則.------------------------------（1分）
（2）作BH⊥DC，H為垂足，
則∠ABE+∠EBH=, ∠EBH+∠HBC=，
∴∠HBC=∠ABE，又∠BHC=∠A=，
∴△ABE∽△HBC，------------------------------------（2分）
又AB‖CD，得HB=AD=x，HC=，
∴，即，--------------------------（2分）
解得，定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823003533217403.gif" style="vertical-align:middle;" />.----------------------（1分）
（3）假設(shè)能使△ABE、△CDE與△BCE都相似，當(dāng)點(diǎn)E在邊AD上時(shí)，（如圖1）

易知∠EBC=∠A=∠D=，
考慮∠1的對(duì)應(yīng)角，容易得到∠1,∠1,
所以必有∠1=∠2=∠3=，
于是在△ABE、△CDE中，易得，,
∴,------------------------------------------（2分）
此時(shí)，,, BC="6," -----------------（1分）
即能使△ABE、△CDE與△BCE都相似；當(dāng)點(diǎn)E在邊AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，（如圖2）

類似分析可得∠1=∠2=∠3=，可求得,--------（2分）
同樣能使△ABE、△CDE與△BCE都相似.