Question

17．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D．若AD，BD是方程x²-10x+16=0的兩個根（AD＞BD）．求：
（1）CD的長；
（2）$\frac{{{S_{△BCD}}}}{{{S_{△ABC}}}}$的值．

Answer 1

分析 （1）先解方程x²-10x+16=0，得知AD、BD的值，在證明Rt△ADC∽Rt△CDB，由其性質(zhì)的CD 的長．（2）Rt△ABC∽Rt△CDB，根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方求解．

解答 解：（1）解方程 x²-10x+16=0，
                        得：x₁=2，x₂=8
∴AD=8，BD=2．
∵CD⊥AB于D，
∴∠ADC=∠CDB=90°．
∵∠A+∠ACD=∠ACD+∠DCB，
∴∠A=∠DCB．
     在Rt△ADC與Rt△CDB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠CDB=90°}\\{∠A=∠DCB}\end{array}\right.$
∴Rt△ADC∽Rt△CDB，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{AD}{CD}$，即：CD²=AD•BD=8×2=16
       CD=4
       即：CD的長為4
（2）與（1）同法可證Rt△ACB∽Rt△CDB
則   $\frac{{{S_{△BCD}}}}{{{S_{△ABC}}}}$=$\frac{B{D}^{2}}{B{C}^{2}}$=$\frac{{BD}^{2}}{C{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\frac{{2}^{2}}{{4}^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{1}{5}$
  即：$\frac{{{S_{△BCD}}}}{{{S_{△ABC}}}}$=$\frac{1}{5}$．

點評 本題考查了相似三角形的性質(zhì)、解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是巧用相似的性質(zhì)．