Question

【題目】如圖，△OAB中，OA=OB = 10，∠AOB = 80°，以點(diǎn)O為圓心， 6為半徑的優(yōu)弧MN分別交OA，OB于點(diǎn)M，N．

（1）點(diǎn)P在右半弧上（∠BOP是銳角），將OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°得OP′．求證：AP=BP′；

（2）點(diǎn)T在左半弧上，若AT與弧相切，求點(diǎn)T到OA的距離；

（3）設(shè)點(diǎn)Q在優(yōu)弧MN上，當(dāng)△AOQ的面積最大時(shí)，直接寫出∠BOQ的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）10°或170°．

【解析】

試題分析：（1）首先根據(jù)已知得出∠AOP=∠BOP′，進(jìn)而得出△AOP≌△BOP′，即可得出答案；

（2）利用切線的性質(zhì)得出∠ATO=90°，再利用勾股定理求出AT的長(zhǎng)，進(jìn)而得出TH的長(zhǎng)即可得出答案；

（3）當(dāng)OQ⊥OA時(shí)，△AOQ面積最大，且左右兩半弧上各存在一點(diǎn)分別求出即可．

試題解析：（1）如圖1，

∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80°+∠BOP，

∠BOP′=∠POP′+∠BOP=80°+∠BOP，

∴∠AOP=∠BOP′，

∵在△AOP和△BOP′中

∴△AOP≌△BOP′（SAS），

∴AP=BP′；

（2）如圖1，連接OT，過(guò)點(diǎn)T作TH⊥OA于點(diǎn)H，

∵AT與弧MN相切，

∴∠ATO=90°，

∴AT===8，

∵×OA×TH=×AT×OT，

即×10×TH=×8×6，

解得：TH=，即點(diǎn)T到OA的距離為；

（3）如圖2，當(dāng)OQ⊥OA時(shí)，△AOQ的面積最大；

理由：∵OQ⊥OA，

∴QO是△AOQ中最長(zhǎng)的高，則△AOQ的面積最大，

∴∠BOQ=∠AOQ+∠AOB=90°+80°=170°，

當(dāng)Q點(diǎn)在優(yōu)弧MN右側(cè)上，

∵OQ⊥OA，

∴QO是△AOQ中最長(zhǎng)的高，則△AOQ的面積最大，

∴∠BOQ=∠AOQ-∠AOB=90°-80°=10°，

綜上所述：當(dāng)∠BOQ的度數(shù)為10°或170°時(shí)，△AOQ的面積最大．